[論文レビュー] The geometry of fractional osculator bundle of higher order and applications

I. D. Albu, Mihaela Neamţu+1 more|ArXiv.org|Sep 13, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、リーマン・リオウヴィル型分数階微分を用いて高次の分数階接束バンドルを導入し、分数階ラグランジュ、フィンスler、リーマン構造のための幾何学的枠組みを確立する。分数階微分を用いて非線形接続、スプレイ、クリスティオーベル記号を定義し、座標変換のもとでの幾何学的不変性を証明するとともに、ラグランジュ、フィンスラーやリーマン構造のk次延長に対する分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。

ABSTRACT

Using the reviewed Riemann-Liouville fractional derivative we introduce the fractional osculator Lagrange space of k order and the main structures on it. The results are applied at the k order fractional prolongation of Lagrange, Finsler and Riemann fractional structures.

研究の動機と目的

• 微分可能多様体上における高次の分数階微分のための幾何学的枠組みを構築すること。
• リーマン・リオウヴィル型分数階微分を用いて、次数kの分数階接束バンドル$\mathcal{E}^{\alpha k}$を定義すること。
• 座標変換に対して不変であるような、分数階非線形接続、スプレイ、クリスティオーベル記号などの幾何学的対象を確立すること。
• ラグランジュ、フィンスラー、リーマン構造のk次延長に対する分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出すること。
• 不変な分数階微分作用素を用いて、他の分数階幾何学的構造を研究する基盤を提供すること。

提案手法

• 関数に定義されたリーマン・リオウヴィル型分数階微分$D^\alpha_t$およびその右側対応物$^*D^\alpha_t$を、$\mathbb{R}$上の関数に限定せず、多様体値関数へと拡張する。
• 分数階接束バンドル$\mathcal{E}^{\alpha k} = \text{Osc}^{\alpha k}(M)$を、分数階接ベクトル束の高次の一般化として定義する。
• 分数階ベクトル場、$\alpha k$-分数階スプレイ、および$\mathcal{E}^{\alpha k}$上での非線形接続を導入し、局所座標変換のもとでの幾何学的不変性を証明する。
• 計量テンソル$\gamma_{ij}^{\alpha}$の分数階微分を用いて、分数階クリスティオーベル記号$\gamma^{h}_{ij}(x, y^{(\alpha)})$を導出する。
• ガンマ関数と分数階微分を用いて、非線形接続の双対係数$M^{\alpha k}_j{}^i$を再帰的に構成する。
• 形式的枠組みを、ラグランジアン、フィンスラー、リーマン構造のk次延長に適用し、分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン・リオウヴィル微分を用いて、接束バンドルの概念を分数階に一般化することは可能か？
• RQ2 分数階接束バンドル$\mathcal{E}^{\alpha k}$に自然に生じる幾何学的構造（非線形接続、スプレイなど）は何か？
• RQ3 分数階幾何学的対象（例：クリスティオーベル記号、非線形接続）は、多様体上の座標変換のもとで幾何学的に変化するか？
• RQ4 分数階オイラー＝ラグランジュ方程式は、$\mathcal{E}^{\alpha k}$上でのラグランジュ構造の延長からどのように導かれるか？
• RQ5 この形式的枠組みは、k次延長を用いて分数階フィンスラー幾何学およびリーマン幾何学を記述するために拡張可能か？

主な発見

• 分数階接束バンドル$\mathcal{E}^{\alpha k}$は適切に定義されており、座標変換に対して不変であるため、幾何学的整合性が保証される。
• 分数階非線形接続は、ラグランジュ空間の基本関数$L^\alpha$にのみ依存する双対係数$M^{\alpha k}_j{}^i$を用いて構成される。
• クリスティオーベル記号$\gamma^{h}_{ij}(x, y^{(\alpha)})$は、計量テンソルの分数階微分を用いて導出され、分数階微積分と整合的である。
• k次延長に対する分数階オイラー＝ラグランジュ方程式は、$y^{i(2\alpha)} = \mathcal{G}^i(x, y^{(\alpha)})$として与えられ、ここで$\mathcal{G}^i$はラグランジアンの分数階微分を含む。
• この形式的枠組みにより、分数階微分を用いてラグランジュ、フィンスラー、リーマン構造のk次延長を幾何学的構造を保ちながら行うことが可能である。
• 結果は、[3]および[4]で示される後続の研究において、さらなる分数階幾何学的構造を研究する基盤を提供する。