[論文レビュー] The Geometry Of Higher-Order Hamilton Spaces; Applications to Hamiltonian Mechanics

Radu Miron|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 64被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、k階接束および余接束へのラグランジュおよびフィンスler幾何学の拡張として、高階ハミルトニアン空間の微分幾何学を展開する。T*kM 上に、標準的な非線形接続、計量的N線形接続、およびポアソン構造を導入し、高階ハミルトニアン力学および相対論的光線力学の幾何的定式化を可能にし、変分問題や保存則への応用を含む。

ABSTRACT

The book can be divided in three parts: the Lagrange geometry of order $k$, presented in the first three chapters, the geometrical theory of the dual manifolds $T^{*k}M$ - chapters 4-7 and the geometry of Hamilton spaces of order $k$ and their subspaces, contained in the last four chapters. They are studied directly and as 'dual' geometry, via Legendre transformation.

研究の動機と目的

• k-ジャンルバンドルの微分幾何学を用いて、ハミルトニアン力学を高階（k階）系へ一般化すること。
• 双対バンドル T*kM の幾何学を発展させ、標準的ポアソン構造および非線形接続を含むこと。
• ハミルトニアンのk階に対する変分的枠組みを確立し、ハミルトン＝ジャコビ方程式および保存則を含むこと。
• フィンスラーやカルタン幾何学を高階空間へ拡張し、特に相対論的光線力学および場の理論への応用を目的とすること。
• 標準的計量的N線形接続を導入し、高階設定における曲率およびねじれを研究すること。

提案手法

• k接束 TkM 及びその双対 T*kM を、底面多様体 M 上のファイバー束として構成し、自然な幾何的構造を備える。
• k-半スプラヤーおよび双対スプラヤーを、測地線スプラヤーの高階版として導入し、垂直分布を介して非線形接続を定義する。
• T*kM 上にdテンソル場およびN線形接続を定義し、適応局所基底および共変微分を用いて幾何的解析を実施する。
• 標準1次形式およびシンプレクティック形式を用いて、T*kM 上の標準的ポアソン構造を導出し、ハミルトニアン力学を可能にする。
• ハミルトニアンのk階に対する変分法を適用し、ハミルトン＝ジャコビ方程式およびツェルメール条件を導出する。
• 標準的計量的N線形接続を構成し、適応フレームを用いてその曲率、ねじれおよび構造方程式を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T*kM 上のk階余接束における高階ハミルトニアン空間の幾何学を、体系的にどのように展開できるか。
• RQ2 T*kM 上の標準的非線形接続および計量的N線形接続とは何か。それらはハミルトニアン構造とどのように関係するか。
• RQ3 変分原理および保存則は、高階ハミルトニアン系においてどのように一般化されるか。
• RQ4 標準的ポアソン構造は、高階ハミルトニアン力学を定式化する上で果たす役割は何か。
• RQ5 高階フィンスラーやカルタン空間は、どのように双対化され、相対論的光線力学および場の理論に応用できるか。

主な発見

• 本稿は、双対k-半スプラヤーを用いて、古典的非線形接続を高階力学に一般化したT*kM 上の標準的非線形接続を構成する。
• ハミルトニアン空間のk階において、標準的計量的N線形接続の存在を証明し、ハミルトニアンから明示的な局所係数を導出する。
• T*kM 上の標準的ポアソン構造が非退化であり、リーイルベクトル場に関して不変であることが示され、ハミルトニアン力学の実現が可能となる。
• k階ハミルトニアンに対するハミルトン＝ジャコビ方程式を導出し、古典的1階の場合を一般化する。
• 高階エネルギー Ek−1(H) の保存則を確立し、ハミルトニアンが自己同型（時間不変）であるとき、エネルギーが保存されることを示す。
• 本稿は、k階一般化ハミルトニアン空間を用いて、相対論的光線力学の幾何的定式化を提供し、電磁場およびフィンスラータイプの計量と関連付ける。