[論文レビュー] The Geometry of Metrical Multi-time Lagrange Spaces

Mircea Neagu, Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、時空を相対論的で多次元的なパrameterとして扱うことで、絶対的時間の代わりに時空多様体 $T$ を用いることで、 rheonomic Lagrange 幾何学を一般化した、1-jet バンドル $J^1(T,M)$ 上の計量的多時刻 Lagrange 空間を導入する。標準的な Cartan 接続の存在と一意性を確立し、その torsion および曲率 d-テンソルを導出する。さらに、自己同型的電磁力学モデルでは、時間的および空間的計量の曲率テンソルのみが生き残ることを示し、多時刻場理論の幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

A geometrization of a Kronecker $h$-regular multi-time Lagrangian function with partial derivatives of order one is described, in the sense of d-connections, d-torsions and d-curvatures.

研究の動機と目的

• 絶対的時間の代わりに相対論的で多次元的な時空多様体 $T$ を用いることで、rheonomic Lagrange 幾何学を一般化すること。
• 1-jet バンドル $J^1(T,M)$ を配置空間として用いることで、多時刻ラグランジアンのための幾何的枠組みを構築すること。
• 計量的多時刻 Lagrange 空間 $ML^n_p = (J^1(T,M), L)$ を定義し、ラグランジアン $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$ を用いてその幾何的構造を特徴付けること。
• ラグランジアンによって自然に誘導される非線形接続 $\Gamma = (M^{(i)}_{(\alpha)\beta}, N^{(i)}_{(\alpha)j})$ を構成すること。
• 計量的多時刻 Lagrange 空間 $ML^n_p$ に対して、Cartan 標準接続 $C\Gamma$ の存在と一意性を証明し、その torsion および曲率 d-テンソルを分析すること。

提案手法

• 1-jet バンドル $J^1(T,M)$ 上に、$p$ 次元の時空多様体 $T$ 上の半リーマン計量 $h_{\alpha\beta}(t)$ を持つ、Kronecker $h$-正則ラグランジアン $L$ を用いて、計量的多時刻 Lagrange 空間 $ML^n_p$ を定義する。
• 1-jet バンドル $J^1(T,M) \to T \times M$ の拡張ゲージ群に関する幾何的不変性を保証するため、ラグランジアン密度 $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$ を導入する。
• ラグランジアンを用いて、接続 $\Gamma = (M^{(i)}_{(\alpha)\beta}, N^{(i)}_{(\alpha)j})$ を構成し、$J^1(T,M)$ の接束の幾何的分解を提供する。
• 計量構造と非線形接続を用いて、任意の計量的多時刻 Lagrange 空間 $ML^n_p$ に対して、Cartan 標準接続 $C\Gamma$ の存在と一意性を証明する。
• 接続係数、計量テンソル、$h_{\alpha\beta}$ および $g_{ij}$ の曲率成分の偏微分を含む局所成分を用いて、$C\Gamma$ の torsion および曲率 d-テンソルを導出する。
• 曲率 d-テンソル $R$ を、成分 $R^{(l)(\alpha)}_{(\eta)(i)\beta\gamma}$, $R^{(l)(\alpha)}_{(\eta)(i)\beta k}$, $R^{(l)(\alpha)}_{(\eta)(i)jk}$ および $H^\gamma_{\mu\alpha\beta}$ と $r^m_{ijk}$ に依存する形で分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 rheonomic Lagrange 幾何学は、どのように相対論的で多次元的な時空多様体 $T$ を取り入れるか？
• RQ2 1-jet バンドル $J^1(T,M)$ 上の計量的多時刻ラグランジアン $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$ によって誘導される標準的非線形接続 $\Gamma$ は何か？
• RQ3 計量的多時刻 Lagrange 空間 $ML^n_p$ に対して、一意な Cartan 標準接続 $C\Gamma$ が存在するか？ その torsion および曲率の性質は何か？
• RQ4 Cartan 標準接続 $C\Gamma$ の曲率 d-テンソルは、時間計量 $h_{\alpha\beta}$ と空間計量 $g_{ij}$ の曲率テンソルにどのように分解されるか？
• RQ5 $g_{ij}$ が時間に依存しない自己同型的状況（例：電磁力学）では、torsion および曲率 d-テンソルはどのように変化するか？

主な発見

• ラグランジアン $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$ によって一意に定まる非線形接続 $\Gamma = (M^{(i)}_{(\alpha)\beta}, N^{(i)}_{(\alpha)j})$ は、$J^1(T,M)$ の接束の幾何的分解を提供する。
• 任意の計量的多時刻 Lagrange 空間 $ML^n_p$ に対して、Cartan 標準接続 $C\Gamma$ は存在し、一意的である。これにより一貫した幾何的構造が保証される。
• 自己同型的電磁力学の場合（$g_{ij} = g_{ij}(x^k)$）、すべての torsion d-テンソルが消えるが、$R^{(m)}_{(\mu)\alpha\beta} = -H^\gamma_{\mu\alpha\beta}x^m_\gamma$, $R^{(m)}_{(\mu)\alpha j} = -\frac{h_{\mu\eta}g^{mk}}{4}\left[H^\eta_{\alpha\gamma}U^{(\gamma)}_{(k)j} + \frac{\partial U^{(\eta)}_{(k)j}}{\partial t^\alpha}\right]$, および $R^{(m)}_{(\mu)ij} = r^m_{ijk}x^k_\mu + \frac{h_{\mu\eta}g^{mk}}{4}\left[U^{(\eta)}_{(k)i|j} + U^{(\eta)}_{(k)j|i}\right]$ のみが非ゼロとなる。
• Cartan 標準接続 $C\Gamma$ の曲率 d-テンソル $R$ は、$H^\alpha_{\eta\beta\gamma}$（$h_{\alpha\beta}$ の曲率）、$R^l_{i\beta\gamma}$, $R^l_{i\beta k}$, および $R^l_{ijk} = r^l_{ijk}$（$g_{ij}$ の曲率）を含む成分に分解され、$p=1$ および $p\geq 2$ の場合の完全な式が与えられている。
• $p=1$ の場合、曲率成分は $G^l_{i\alpha}$, $L^l_{ik}$, および $C^{l(1)}_{i(m)}$ の共変微分を用いて表現される。$p\geq 2$ の場合、それらは $H^\alpha_{\eta\beta\gamma}$, $R^l_{i\beta\gamma}$, $R^l_{i\beta k}$, および $R^l_{ijk}$ に依存する。
• 自己同型的電磁力学の場合、非ゼロの曲率 d-テンソルは $H^\alpha_{\eta\beta\gamma}$ および $R^l_{ijk} = r^l_{ijk}$ のみであり、幾何学が時間的および空間的計量の曲率に還元されることを確認している。