[論文レビュー] The Geometry of Momentum

Alan Weinstein|ArXiv.org|Aug 13, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、群コホーブを用いて古典力学における運動量写像の普遍的枠組みを構築し、標準的な運動量写像が失敗する状況でも保存量を捉えることができる『最適運動量写像』を導入する。シンプレクティック、ポワンソイ、群コホーブ構造を統合することでネーターの定理を一般化し、位相空間上の群作用の等方型にどのように対称性と保存則が符号化されるかを示す。

ABSTRACT

Although the idea of the momentum map associated with a symplectic action of a group is already contained in work of Lie, the geometry of momentum maps was not studied extensively until the 1960's. Centering around the relation between symmetries and conserved quantities, the study of momentum maps was very much alive at the end of the 20th century and continues to this day, with the creation of new notions of symmetry. A uniform framework for all these momentum maps is still to be found; groupoids should play an important role in such a framework.

研究の動機と目的

• 標準的な運動量写像が失敗する、非ハミルトニアン的または非正規的（non-proper）な作用を含む系にまで、古典的運動量写像枠組みを一般化すること。
• 最適運動量写像を用いて、対称性に関連する保存量を普遍的かつ不変な記述で与えること。
• シンプレクティック、ポワンソイ、群コホーブに基づく構造の三つを、一つの整合的で一貫した構成によって統合すること。
• ゲージ場や磁場ポテンシャルを伴う系においても、等方型の構造とその不変量を回復すること。
• 最適運動量写像が、$G$-不変ハミルトニアン流によって保存されるすべての$G$--equivariantポワンソイ写像の中で普遍的であることの証明。

提案手法

• 群$G$-多様体$M$を、$G$-不変ハミルトニアンベクトル場の生成する擬群$\mathcal{G}$による商$M/\mathcal{G}$として定義する最適運動量写像$\mathcal{J}: M \to M/\mathcal{G}$を導入する。
• 滑らかなポワンソイ空間としての運動量空間$M/\mathcal{G}$を構成し、その滑らかな関数を$M$上の$\mathcal{G}$-不変関数と定義し、ポワンソイ代数をなす。
• 群$G$の作用をモデル化するためのバール群コホーブ$\mathcal{B}G$を用いる。ここで対象は$G$の部分群であり、射は二重コセットであり、共軛と等方型を符号化する。
• $\mathcal{B}G$の$P$への作用を$\mathcal{B}G \times T^*G$へ拡張し、そのレベル集合が$J^{-1}(\mu)$と等方型の交わりとなる運動量写像を定義する。
• 最適運動量写像のレベル集合が、$J^{-1}(\mu) \cap \text{等方型}$の連結成分に一致することを示し、標準的な運動量写像を精緻化する。
• 普遍性の確立：任意の$G$--equivariantポワンソイ写像$K: M \to P$が$G$-不変ハミルトニアン流によって保存されるとき、一意に$\mathcal{J}$を介して因数分解可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正規的または非ハミルトニアン的群作用のような、標準的な運動量写像が存在しない状況において、運動量写像をどのように一般化できるか。
• RQ2 等方型とその不変量が、標準的な運動量写像を超えて保存量を符号化する役割を果たす仕組みは何か。
• RQ3 非ハミルトニアン的でない場合でも、$G$-作用に関連するすべての保存量を捉えることができる普遍的運動量写像を構成可能か。
• RQ4 特にバール群コホーブ$\mathcal{B}G$は、異なる幾何的構造にわたる運動量写像を統合する自然な枠組みをどのように提供するか。
• RQ5 最適運動量写像が、$G$-不変ハミルトニアン流によって保存されるすべての$G$-equivariantポワンソイ写像の中で、どのように普遍的とされるか。

主な発見

• 最適運動量写像$\mathcal{J}: M \to M/\mathcal{G}$は、任意の$G$-不変ハミルトニアンベクトル場の流れによって普遍的に保存される。
• 運動量空間$M/\mathcal{G}$は滑らかなポワンソイ空間であり、その滑らかな関数は$M$上の$\mathcal{G}$-不変関数として定義され、ポワンソイ代数をなす。
• 正規的ハミルトニアン作用の場合、$\mathcal{J}$のレベル集合は、標準的運動量写像のレベル集合$J^{-1}(\mu)$と特定の等方型の交わりの連結成分に一致する。
• 最適運動量写像は普遍的である：任意の$G$-equivariantポワンソイ写像$K: M \to P$が$G$-不変ハミルトニアン流によって保存されるとき、一意に$\phi: M/\mathcal{G} \to P$が存在し、$K = \phi \circ \mathcal{J}$を満たす。
• 群がコンパクトかつ連結なハミルトニアン作用の場合、この構成はエーヴェンズ＝ル運動量写像を特別な場合として回復する。
• バール群コホーブ$\mathcal{B}G$の使用により、運動量写像が等方部分群を介して内在的に定義可能となり、射が共軛と正規化子構造を符号化する。また、最適運動量写像の自然な幾何的設定を提供する。