[論文レビュー] The Geometry of MultiLagrange Spaces

Mircea Neagu, Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2000

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1階接空間 J¹(T, M) に関連する1階のクラコフスキー h-正則ラングレージアンに伴う多ラングレージュ空間の幾何学を導入する。多ラングレージュ空間 MLⁿᵖ を特徴づけ、標準的でない線形接続およびカルタンの標準接続を構成し、変分的極値と曲率テンソルの幾何的解釈を提供することで、物理における多ラングレージアン場理論の基盤を築く。

ABSTRACT

Section 1 presents the actual mathematical context in which is placed the geometry of multiLagrange spaces developped in this paper. This is a new geometry of the 1-jet space J 1 (T, M) naturally attached to a Kronecker h-regular Lagrangian with partial derivatives of order one. In Section 2 is introduced the notion of multiLagrange space ML n p = (J 1 (T, M), L) and is proved the theorem of characterization of these spaces. In Section 3 is constructed the canonical nonlinear connection Γ = (M (i), N(i) (α)β (α)j) on J1 (T, M), naturally induced by the Lagrangian L of the multiLagrangian space ML n p. At the same time, in Section 3 is offered a geometrical interpretation of the extremals of L. Section 4 is dedicated to the study of the important Cartan canonical connection CΓ of a multiLagrange space ML n p which allows to construct the subsequent multiLagrangian theory of physical fields [7]. The main torsion and curvature d-tensors of the Cartan canonical connection CΓ are also described in Section 4.

研究の動機と目的

• 1階接空間 J¹(T, M) に伴うクラコフスキー h-正則ラングレージアンに起因する多ラングレージュ空間の幾何的枠組みを構築すること。
• 厳密な数学的表現を用いて多ラングレージュ空間 MLⁿᵖ を特徴づけること。
• ラングレージアン L が J¹(T, M) 上に自然に誘導する標準的でない線形接続を構成すること。
• 多ラングレージュ幾何学の文脈において、ラングレージアン L の極値の幾何的意味を明らかにすること。
• 後の多ラングレージアン場理論への応用を想定し、カルタンの標準接続 CΓ 及びそのねじれテンソルと曲率 d-テンソルを研究すること。

提案手法

• 本稿は、1階接空間 J¹(T, M) 上に、1階偏導関数に関するクラコフスキー h-正則ラングレージアン L を備えた多ラングレージュ空間 MLⁿᵖ を定義する。
• 多ラングレージュ空間の特徴づけ定理を証明し、それらの内在的幾何的条件を確立する。
• ラングレージアン L を用いて、J¹(T, M) 上に標準的でない線形接続 Γ = (M(i), N(i)(α)β(α)j) を構成する。
• 非線形接続の構造およびその関連係数を用いて、L の極値を幾何学的に解釈する。
• 非線形接続およびラングレージアンからカルタンの標準接続 CΓ を導出し、完全な非線形接続理論の構築を可能にする。
• CΓ の主要なねじれテンソルおよび曲率 d-テンソルを、多ラングレージュ空間幾何学の枠組み内で詳細に計算・記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1階接空間 J¹(T, M) 上の多ラングレージュ空間 MLⁿᵖ を定義する内在的幾何的条件は何か？
• RQ2 1階のクラコフスキー h-正則ラングレージアンが、1階接空間 J¹(T, M) 上に自然に誘導する標準的でない線形接続はどのように構成されるか？
• RQ3 多ラングレージュ空間の文脈において、ラングレージアン L の極値が持つ幾何的意味は何か？
• RQ4 多ラングレージュ幾何学におけるカルタンの標準接続 CΓ の性質は何か？ そのねじれテンソルおよび曲率 d-テンソルはどのように振る舞うか？
• RQ5 構築された多ラングレージュ空間の幾何学的構造は、物理における多ラングレージアン場理論の発展をどのように支援するか？

主な発見

• 本稿は、多ラングレージュ空間 MLⁿᵖ の特徴づけ定理を確立し、1階接空間 J¹(T, M) 上での幾何的構造を定義する。
• ラングレージアン L に起因する自然な幾何的対象として、J¹(T, M) 上に明示的に標準的でない線形接続 Γ = (M(i), N(i)(α)β(α)j) が構成される。
• 非線形接続構造およびその関連係数を用いて、ラングレージアン L の極値が幾何学的に解釈される。
• カルタンの標準接続 CΓ が導出され、その後続の多ラングレージアン場理論の発展において中心的な役割を果たすことが示された。
• カルタンの標準接続 CΓ の主要なねじれテンソルおよび曲率 d-テンソルが詳細に記述され、さらなる幾何的および物理的解析に不可欠な道具が提供された。
• この枠組みは、1階接空間形式を用いてラングレージアン場理論を多ラングレージアン系へ拡張するための厳密な幾何的基盤を提供する。