[論文レビュー] The geometry of one-loop amplitudes

Oliver Schnetz|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、量子場の理論における1ループ振幅を統一的な幾何的枠組みで提示する。$n$次元時空におけるユークリッド1ループ振幅を、外部運動量が張る双曲的$(n-1)$-単体の体積として解釈する。$n=N$次元において、振幅は双曲的空間内の四面体の双曲的体積とユークリッド体積の比に還元され、質量が幾何を決定づけ、質量零の粒子に対応する理想四面体は、奇数次元においてディログラマおよび高次多重対数関数を用いた代数的表現を可能にする。

ABSTRACT

We review a reduction formula by Petersson that reduces the calculation of a one-loop amplitude with N external lines in n

研究の動機と目的

• 異なる時空次元における1ループ振幅の記述を幾何的手法を用いて統一すること。
• ペトソン還元公式の幾何的解釈を、単体の双曲的体積として提示すること。
• 偶数次元時空において、質量を有する1ループ振幅が理想四面体への分解を通じて質量零振幅で表現可能であることを示すこと。
• 奇数次元の双曲的空間における双曲的体積計算と関連づけて、1ループ振幅における多重対数関数の役割を明確化すること。
• 2ループの反例を構成することで、1ループを超えると幾何的解釈が破綻することを示し、2ループ振幅で現れる特殊関数の性質を明らかにすること。

提案手法

• ペトソン還元公式を用いて、$N$プロパゲーター振幅を$n$次元時空における$n$プロパゲーター振幅に還元する。
• 外部運動量を$(n-1)$次元の双曲的空間$H^{n-1}$内の単体に写像し、その振幅がこの単体の双曲的体積に一致することを示す。
• 測地線が直線となる射影的双曲的モデルを導入し、無限遠の球面が内部粒子の質量によって決定されることを示す。
• 質量零の粒子に対しては四面体が理想化され、3次元ではブロッハ＝ヴァイナーのディログラマ、高次元では高次多重対数関数を用いて体積が表現される。
• 奇数次元の双曲的空間において、体積の交項和を用いた双曲的単体の理想四面体への再帰的分解を適用する。
• 振幅の一般式を、単体の双曲的体積とユークリッド体積の比として導出し、運動量の二乗の行列の行列式を含む幾何的係数でスケーリングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$次元時空における1ループ振幅は、双曲的幾何を用いて一様に記述可能か？
• RQ2 ペトソン還元公式は、$n$次元空間における双曲的体積構造とどのように幾何的に関係するか？
• RQ3 質量を有する1ループ振幅は、幾何的分解を通じて、どの程度まで質量零振幅で表現可能か？
• RQ4 多重対数関数は1ループ振幅において果たす役割は何か？また、それらはどのように双曲的体積計算から生じるか？
• RQ5 なぜ幾何的解釈は1ループを超えて破綻するのか？2ループ振幅ではどのような特別関数が現れるのか？

主な発見

• $n$次元ユークリッド時空における1ループ振幅は、$(n-1)$次元の双曲的空間内に外部運動量が張る単体の双曲的体積と幾何的に同等である。
• $n=N$の場合、振幅は$\int \mathrm{d}^n p \frac{1}{Q_1 \cdots Q_n} = \frac{(2\pi)^{n/2} \Gamma(n/2) \mathrm{vol}_{H^{n-1}}(\Sigma)}{[(-1)^{n-1} \det((p_i - p_j)^2 + m_i^2 + m_j^2)_{i,j}]^{1/2}}$として与えられ、単体$\Sigma$の双曲的体積と関連づけられる。
• 奇数次元の双曲的空間（$n$が偶数）において、任意の双曲的単体の体積は、$n \cdot 2^n$個の理想四面体の体積の交項和の半分として表現可能であり、質量零振幅への還元が可能である。
• 3次元では、理想双曲的四面体の体積は、4つの外部運動量の交叉比の絶対値を取ったブロッハ＝ヴァイナーのディログラマで与えられる。
• 5次元（$n=6$）では、理想四面体の体積にトリログラマが必要であり、ディログラマを超える複雑性が生じることを示している。
• 非ゼロ質量を有する2次元の2ループ振幅は楕円積分を生じ、1ループを超えると一般に振幅が双曲的幾何や多重対数関数のみで表現できないことが示されている。