[論文レビュー] The geometry of oriented cubes

Iain R. Aitchison|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非可換コhomologyにおける立方体コサイクル条件の自然な帰納的枠組みを提供する、向き付けられた立方体の幾何的構成を導入する。Yang-Baxter方程式、五角形方程式、および高次単体方程式が、高次元の立方体における同一の構造的不同な顕現であることが示される。

ABSTRACT

This reports on the fundamental objects revealed by Ross Street, which he called `orientals'. Street's work was in part inspired by Robert's attempts to use N-category ideas to construct nets of C*-algebras in Minkowski space for applications to relativistic quantum field theory: Roberts' additional challenge was that `no amount of staring at the low dimensional cocycle conditions would reveal the pattern for higher dimensions'. This report takes up this challenge, presenting a natural inductive construction of explicit cubical cocyle conditions, and gives three ways in which the simplicial ones can be derived from these. (A dual string-diagram version of this work, giving rise to a Pascal's triangle of diagrams for cocycle conditions, has been described elsewhere by Street). A consequence of this work is that the Yang-Baxter equation, the `pentagon of pentagons', and higher simplex equations, are in essence different manifestations of the same underlying abstract structure. There has been recent interest in higher-categories, by computer scientists investigating concurrency theory, as well as by physicists, among others. The dual `string' version of this paper makes clear the relationship with higher-dimensional simplex equations in physics. Much work in this area has been done since these notes were written: no attempt has been made to update the original report. However, all diagrams have been redrawn by computer, replacing all original hand-drawn pictures.

研究の動機と目的

• 低次元のコサイクル条件が高次元におけるパターンを明らかにしないというロバートの挑戦に応えること。
• n-立方体における明示的な構造を通じて、ストリートの単体的向き付き構造（simplicial orientals）の幾何的解釈を提供すること。
• 立方体コサイクル条件から単体的コサイクル条件を導出し、立方体と単体の間の双対性を確立すること。
• n-立方体の境界における埋め込まれたディスクのネストされた系列を用いて、非可換コhomologyの標準的コサイクル条件を定義すること。
• Yang-Baxter方程式、五角形の五角形、および高次単体方程式の背後にある深い構造的統一性を明らかにすること。

提案手法

• n次元立方体を、{−, 0, +}^n の要素によってラベル付けされた順序付き部分立方体を有する幾何的対象として構成する。
• 境界を半球に再帰的に分解することにより、n-立方体のk次元の源と終域を定義する。
• 境界が固定された半球上のデータの連続的変形を用いて、準同型および高次準同型をモデル化する。
• 帰納的構成を適用して、すべての次元における明示的な立方体コサイクル条件を生成する。
• 立方体と単体の構造の幾何的対応を通じて、立方体のコサイクル条件から単体的コサイクル条件を導出する。
• 次元間での源と終域の割り当ての一貫性を保証するため、部分立方体の標準的順序を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元のコサイクル条件のパターンは、低次元の例を超えて、どのように体系的に明らかにできるか？
• RQ2 n-立方体にどのような幾何的構造がn-圏の整合性データを符号化しているか？
• RQ3 n-単体から生じる単体的向き付き構造（simplicial orientals）と、n-立方体上の向き付き構造とは、どのように関係しているか？
• RQ4 Yang-Baxter方程式と五角形方程式は、どのように同一の立方体的構造の異なる顕現として現れるか？
• RQ5 n-立方体の境界における埋め込まれたディスクのネストされた系列を用いて、非可換コhomologyの幾何的解釈を構築できるか？

主な発見

• 本稿は、単体的条件を一般化する自然な帰納的構成により、立方体コサイクル条件を提供する。
• Yang-Baxter方程式、五角形方程式、および高次単体方程式が、高次圏における同一の抽象的構造の異なる実現であることが確立される。
• 幾何的構成により、n-立方体の境界の半球のネストされた順序付き変形が、整合的なn-圏構造を支えることが明らかになる。
• ストリートの単体的向き付き構造は、元の整合性データを保持する双対性を通じて、立方体的向き付き構造から導出可能である。
• n-立方体における部分立方体の標準的順序により、各次元k ≤ nに対して一意に定義された源と終域の体系が得られる。
• 本研究は、細胞上でのデータ拡張を境界が固定された連続的変形としてモデル化することにより、非可換コhomologyの幾何的基盤を提供する。