[論文レビュー] The Geometry of Polygons in R^5 and Quaternions

Philip Foth, Guadalupe Lozano|ArXiv.org|Feb 17, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固定された辺長をもつ ℝ⁵ 内の多角形のモジュライ空間と、対角的 PSL(2,ℍ)-作用による n 重積 (ℍℙ¹)ⁿ の重み付き商との間で、実解析的同型を確立する。これはゲルファンド＝マクフィアソン対応をクaternion的設定に一般化し、モジュライ空間を Grₕ(2,n) による Sp(1)ⁿ の作用による商として実現し、一般化された作用角座標を構成することで、特異点が ℝ²ⁿ⁻⁶ × [(ℝ²)ⁿ⁻⁴/SO(2)] および ℝⁿ⁻³ × [(ℝ³)ⁿ⁻³/SO(3)] の局所的モデルを持つことを明らかにする。

ABSTRACT

We consider the moduli space M_r of polygons with fixed side lengths in five-dimensional eucledian space. We analyze the local structure of its singularities and exhibit a real-analytic equivalence between M_r and a weighted quotient of the n-fold product of the quaternionic projective line HP^1 by the diagonal PSL(2,H)-action. We explore the relation between M_r and the fixed point set of an anti-symplectic involution on a GIT quotient Gr(2,4)^n/SL(4,C). We generalize the Gel'fand-MacPherson correspondence to more general complex Grassmannians and to the quaternionic context, and realize our space M_r as a quotient of a subspace in the quaternionic Grassmannian Gr_H(2,n) by the action of the group Sp(1)^n. We also give analogues of the Gel'fand-Tsetlin coordinates on the space of quaternionic Hermitean matrices and briefly describe generalized action-angle coordinates on M_r.

研究の動機と目的

• 固定された辺長をもつ ℝ⁵ 内の多角形のモジュライ空間 𝒟ᵣ in における特異点の局所的構造を分析すること。
• 𝒟ᵣ と対角的 PSL(2,ℍ)-作用による (ℍℙ¹)ⁿ の重み付き商との間の実解析的同値性を確立すること。
• ゲルファンド＝マクフィアソン対応を複素数およびクォaternion的グラスマンニアンへ一般化すること。
• モジュライ空間 𝒟ᵣ をクォaternion的グラスマンニアン Grₕ(2,n) による Sp(1)ⁿ の作用による商として実現すること。
• クォaternion的エルミート行列とシンプレクティック減少の技法を用いて、𝒟ᵣ 上に一般化された作用角座標を構成すること。

提案手法

• リーとミルソンの安定測度と、ダウディとアールの共形重心構成を用いて、SL(2,ℍ)/Sp(2) の対称空間の境界としての S⁴ の幾何を分析する。
• 実解析的同型の技法を適用し、空間多角形の近傍では ℝ²ⁿ⁻⁶ × [(ℝ²)ⁿ⁻⁴/SO(2)] と、平面多角形の近傍では ℝⁿ⁻³ × [(ℝ³)ⁿ⁻³/SO(3)] に局所的に同型であることを示す。
• 各一般な多角形 [P] ∈ 𝒟ᵣ に対して、対角線を固定する SO(4) の作用を用いて頂点を 2 次元平面へ剛体移動することで、標準的な平面代表 [P_c] を構成する。
• 対角線に沿った逐次的な SO(4)-湾曲変形を用いて 3n−12 個の一般化された角度座標を定義し、剛体運動を除くために SO(3) で商をとる。
• 𝒟ᵣ をクォaternion的グラスマンニアン Grₕ(2,n) 内の部分空間による Sp(1)ⁿ の対角的作用による商として実現し、複素数の場合の一般化を行う。
• ℂ²ᵐ ≅ ℍᵐ 上での j による乗法によって誘導される反シミプレクティック的対合の固定点集合と、Grℂ(2,4)ⁿ/SL(4,ℂ) の GIT 商との関係を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ⁵ 内の多角形のモジュライ空間の特異点は、局所的にどのように構造化されているか？
• RQ2 𝒟ᵣ と PSL(2,ℍ) の対角的作用による (ℍℙ¹)ⁿ の商との間の正確な実解析的同値性は何か？
• RQ3 ゲルファンド＝マクフィアソン対応はクォaternion的設定に一般化可能であり、多角形のモジュライ空間に応用可能か？
• RQ4 クォaternion的エルミート行列を用いて、𝒟ᵣ 上に一般化された作用角座標をどのように構成できるか？
• RQ5 𝒟ᵣ と Grℂ(2,4)ⁿ/SL(4,ℂ) 上の反シミプレクティック的対合の固定点集合との関係は何か？

主な発見

• 𝒟ᵣ の特異的軌道は、次元 2n−6 の実オーロラで、ℳᵣ⁽³⁾ による ℤ/2ℤ 商と同型である。
• 𝒟ᵣ 内の平面 n 辺形の近傍は、局所的に ℝⁿ⁻³ × [(ℝ³)ⁿ⁻³/SO(3)] と解析的に同型である。
• 𝒟ᵣ 内の空間 n 辺形の近傍は、局所的に ℝ²ⁿ⁻⁶ × [(ℝ²)ⁿ⁻⁴/SO(2)] と解析的に同型である。
• 𝒟ᵣ の稠密な開部分集合には、3n−12 個の一般化された角度座標と n−3 個の作用変数（対角線長）が存在し、局所座標系をなす。
• モジュライ空間 𝒟ᵣ は、対角的 PSL(2,ℍ)-作用による (ℍℙ¹)ⁿ の重み付き商と実解析的に同型である。
• 𝒟ᵣ は、クォaternion的グラスマンニアン Grₕ(2,n) 内の部分空間を Sp(1)ⁿ の作用で割った商として実現され、複素数の場合を一般化する。