[論文レビュー] The geometry of quantum computation

Mark R. Dowling, Michael A. Nielsen|ArXiv.org|Dec 31, 2006

Quantum Mechanics and Applications被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ユニタリ進化を曲がった多様体上の測地線としてモデル化することにより、量子回路複雑度のリーマン幾何的枠組みを確立する。最適ハミルトニアン進化が普遍的な測地線方程式に従うことを示し、最小長の測地線を計算するための変形手続きを提案する。これにより、幾何的不変量および曲率から量子回路複雑度の下界を導出可能となる。

ABSTRACT

Determining the quantum circuit complexity of a unitary operation is closely related to the problem of finding minimal length paths in a particular curved geometry [Nielsen et al, Science 311, 1133-1135 (2006)]. This paper investigates many of the basic geometric objects associated to this space, including the Levi-Civita connection, the geodesic equation, the curvature, and the Jacobi equation. We show that the optimal Hamiltonian evolution for synthesis of a desired unitary necessarily obeys a simple universal geodesic equation. As a consequence, once the initial value of the Hamiltonian is set, subsequent changes to the Hamiltonian are completely determined by the geodesic equation. We develop many analytic solutions to the geodesic equation, and a set of invariants that completely determine the geodesics. We investigate the problem of finding minimal geodesics through a desired unitary, U, and develop a procedure which allows us to deform the (known) geodesics of a simple and well understood metric to the geodesics of the metric of interest in quantum computation. This deformation procedure is illustrated using some three-qubit numerical examples. We study the computational complexity of evaluating distances on Riemmanian manifolds, and show that no efficient classical algorithm for this problem exists, subject to the assumption that good pseudorandom generators exist. Finally, we develop a canonical extension procedure for unitary operations which allows ancilla qubits to be incorporated into the geometric approach to quantum computing.

研究の動機と目的

• 量子回路複雑度を解析する包括的な幾何的枠組みを、リーマン幾何学を用いて構築すること。
• ユニタリ操作の多様体上でのレヴィチビタ接続、曲率、測地線方程式を特定すること。
• 恒等演算子から所望のユニタリ操作へ至る最小測地線を計算するための変形手続きを構築すること。
• 幾何的距離と量子回路複雑度（特に下界）との関係を確立すること。
• この量子幾何的設定におけるリーマン距離の評価の計算複雑度と、それらの古典的アルゴリズムへの影響を調査すること。

提案手法

• ゲート数が距離に対応するリーマン幾何学問題として、量子回路複雑度を形式化する。
• nキュービットユニタリの多様体に対するレヴィチビタ接続および曲率テンソルを導出し、すべての幾何的量の計算を可能にする。
• 最適ハミルトニアン進化を支配する測地線方程式を導出し、初期ハミルトニアンが設定されれば残りの進化が測地線方程式によって一意に決定されることを示す。
• 初期計量から目標量子計算計量への滑らかな測地線変形手続きを導入し、端点を保存する。
• ヤコビ場および共役点を用いて、測地線がもはや大域的に最小長でなくなる条件を分析し、最小経路の数値探索を可能にする。
• アーキテクチャにアダカイトキュービットを統合するための標準的拡張手続きを適用し、幾何的一致性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ操作の空間に、測地線距離が量子回路複雑度に対応するようにリーマン計量を導入する方法は何か？
• RQ2 量子回路の多様体上での基本的幾何的対象（レヴィチビタ接続、曲率、測地線）は何か？
• RQ3 恒等演算子から目的のユニタリUへ至る最小測地線を計算する体系的な手法を開発可能か？
• RQ4 この量子幾何的設定におけるリーマン距離の評価の計算複雑度にどのような意味があるか？
• RQ5 幾何的不変量および曲率を用いて、正確な量子回路複雑度の下界を導出できる範囲はどの程度か？

主な発見

• ユニタリ操作を合成するための最適ハミルトニアン進化は、普遍的な測地線方程式に従う必要があり、全進化は初期ハミルトニアンによって決定される。
• 完全な運動量保存則の集合と、測地線方程式の解析的解が導出され、3キュービットユニタリの一般的正確解が得られている。
• 測地線変形手続きにより、目標ユニタリへの最小測地線の数値計算が可能となり、ランダムユニタリおよび量子フーリエ変換に対して実証された。
• この多様体上のリーマン距離を計算する問題は、標準的擬似乱数生成子の仮定のもとで古典的に困難であることが示され、効率的な古典的アルゴリズムは存在しない。
• 幾何的不変量および曲率を用いて、正確なゲート複雑度の下界を導出可能である：幾何的距離が非線形的または指数的に増加する場合、ゲート数も同様に増加する。
• 標準的拡張手続きにより、アダカイトキュービットを幾何的枠組みに統合可能であり、量子計算の幾何的アプローチと整合的である。