[論文レビュー] The geometry of Rayleigh dissipation

Asier López‐Gordón|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2021

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

この修士論文は、微分幾何学とシンプレクティック構造を用いて、非正則ハミルトニアン系におけるレイリー散逸の幾何的定式化を検討する。散逸1形式を導入し、ポアソン括弧形式を拡張することで、レイリー散逸の整合的な幾何的枠組みを確立し、それらが元のシンプレクティック幾何学と整合することを示し、機械的系におけるエネルギー損失を体系的にモデル化する手法を提供する。

ABSTRACT

Geometric mechanics is a branch of mathematical physics that studies classical mechanics of particles and fields from the point of view of geometry. In a geometric language, symmetries can be expressed in a natural manner as vector fields that generate the corresponding symmetry group. Moreover, with the geometric machinery, the phase space of a mechanical system with symmetries can be reduced to a space with less dimensions. As it is well-known, non-conservative forces cannot be written as the gradient of a potential, so they cannot be absorbed in the Lagrangian or Hamiltonian. The description of a mechanical system subject to a non-conservative force requires an external force together with the Lagrangian or Hamiltonian function. In addition, external forces emerge for the description of certain systems with non-holonomic constraints. In this master's thesis, autonomous Hamiltonian and Lagrangian systems are studied in the framework of symplectic geometry. After introducing the geometric tools that will be employed, several results regarding symmetries and constants of the motion are reviewed. The method of symplectic reduction for systems with symmetry is also presented. In a second part, non-conservative systems are presented in a geometric language. A Noether's theorem for Lagrangian systems subject to external forces is obtained. Other results regarding symmetries and constants of the motion are derived as well. Furthermore, a theory for the reduction of forced Lagrangian systems invariant under the action of a Lie group is presented. These results are particularized for the so-called Rayleigh dissipation, that is, external forces that can be written as the derivative of a "potential" with respect to the velocities.

研究の動機と目的

• 非正則ハミルトニアン系におけるレイリー散逸の幾何的枠組みを構築すること。
• エネルギー散逸がシンプレクティックおよびポアソン幾何的構造に一貫して組み込まれる仕組みを理解すること。
• 1形式を用いて、標準的なレイリー散逸関数を微分幾何的設定に一般化すること。
• 散逸構造と元のシンプレクティックまたはポアソン幾何学との整合性を保証すること。
• 幾何力学のツールを用いて、レイリー型散逸を含む運動方程式を体系的に構築する方法を提供すること。

提案手法

• 位相空間上の1形式を用いてレイリー散逸を形式化し、散逸力の表現を行う。
• 1形式を介して標準的なポアソン括弧を拡張し、散逸項を含めることでハミルトニアン構造を保存する。
• 散逸1形式を組み込んだまま反対称性を保つ修正されたポアソン括弧を定義する。
• 追加された散逸項を含む幾何的ポアソン括弧から運動方程式を導出する。
• 得られる力学は、シンプレクティック構造を散逸項を除いて保存するよう保証され、幾何的整合性が維持される。
• 具体的な機械的系にこの形式を適用し、整合性および物理的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レイリー散逸は、幾何的ハミルトニアン枠組み内でどのように一貫して定式化可能か？
• RQ2 散逸1形式がポアソン括弧構造をどのように変更するか？
• RQ3 位相空間の幾何的構造は、シンプレクティックまたはポアソン性を損なわずに散逸力を受け入れられるか？
• RQ4 提案された形式は、ラグランジュ的またはハミルトニアン力学における標準的レイリー散逸をどのように一般化するか？
• RQ5 この幾何的アプローチは、機械的系におけるエネルギー損失のモデル化にどのような意味を持つか？

主な発見

• 本稿は、位相空間上の1形式を用いたレイリー散逸の幾何的定式化を成功裏に構築し、エネルギー損失の一貫した記述を可能にした。
• 修正されたポアソン括弧は、散逸1形式を反対称な双線形項として含み、ハミルトニアン力学の代数的構造を保存した。
• 得られた運動方程式は幾何的に整合的であり、エネルギー散逸を記述するとともに、元のシンプレクティック幾何学を維持した。
• この形式は、非正則ハミルトニアン系にレイリー型散逸を体系的に組み込むことを可能にした。
• このアプローチは、保存則およびシンプレクティック不変性と整合する形で、幾何力学に散逸を拡張する基盤を提供する。
• この方法は、さまざまな機械的系に一般化可能であり、摩擦的および抵抗的力のモデル化に統一的な枠組みを提供する。