[論文レビュー] The Geometry of Relativistic Rheonomic Lagrange Spaces

Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 15被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、1-jet空間 $J^1(R,M)$ を用いた相対論的時変ラングレージアン空間の幾何的枠組みを導入し、時間再パrametrization を含む古典的時変ラングレーシアン力学を一般化する。カーテンの標準接続を構成し、相対論的マクスウェル方程式とアインシュタイン方程式を導出し、幾何学的構造が d-テンソル曲率成分と運動量-エネルギー保存則を通じて重力場と電磁場を統一することを示している。

ABSTRACT

The paper contains a geometrization of a time dependent Lagrangian function defined on the 1-jet space J^1(R,M) which identifies with R imes TM. The reader is invited to compare this geometrization with that developped by Miron and Anastasiei.

研究の動機と目的

• 時間依存ラングレージアンと時間再パrametrization を組み込んだ、古典的時変ラングレージアン幾何学の相対論的一般化を展開すること。
• 時間依存系に対して、1-jet空間 $J^1(R,M)$ 上に標準的非線形接続とカーテン線形接続を構成すること。
• ラングレージアン枠組み内での電磁場に対する相対論的マクスウェル方程式を導出すること。
• d-テンソル曲率成分を用いて、相対論的時変ラングレージアン空間におけるアインシュタインの重力場方程式を定式化すること。
• 空間の幾何的構造に整合する運動量-エネルギー d-テンソルの保存則を確立すること。

提案手法

• 時間依存力学系をモデル化するため、座標 $(t, x^i, y^i)$ を持つ $J^1(R,M) = R \times TM$ を幾何的基盤として用いる。
• 時間的および空間的スプライン $H$ と $G$ を、時間依存設定における測地線流れを一般化するグローバルテンソル場として導入し、相対論的ゲージ変換のもとで変換する。
• ラングレージアン構造から導かれる、標準的非線形接続 $\Gamma$ 及びその関連するカーテン標準接続を定義する。
• カーテン接続の局所成分を用いて、リッチ d-テンソルとスカラー曲率 $Sc(C) = H + R + S$ を計算し、$H$, $R$, $S$ はそれぞれ時間的、空間的、混合曲率寄与を表す。
• リッチ d-テンソルとスカラー曲率を運動量-エネルギー d-テンソル ${\cal T}_{AB}$ に等置することで、アインシュタイン方程式 (E1) と (E2) を導出する。ここで $A,B \in \{1,i,(1)/(i)\}$ である。
• 曲率成分の発散を用いて保存則を確立する：$\left[\frac{R+S}{2}\right]_{/1} = R^m_{1|m} - P^{(m)}_{(1)1}|^{(1)}_{(m)}$ などであり、物理的エネルギー運動量保存則と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的時変ラングレーシアン力学は、どのように相対論的時間再パrametrization を含む形に一般化できるか？
• RQ2 時間依存ラングレージアンに対して、1-jet空間 $J^1(R,M)$ 上の標準的非線形接続およびカーテン線形接続の構造は何か？
• RQ3 相対論的時変ラングレージアン空間の幾何的構造から、マクスウェル方程式はどのように導かれるか？
• RQ4 この枠組みにおけるカーテン標準接続から導かれる相対論的アインシュタイン場方程式は何か？
• RQ5 運動量-エネルギー d-テンソルの保存則は、幾何学的構造の曲率およびねじれ成分にどのように符号化されているか？

主な発見

• カーテン標準接続のスカラー曲率は $Sc(C) = H + R + S$ であり、$H$, $R$, $S$ はそれぞれ時間的、空間的、混合リッチ d-テンソル成分のスカラー曲率を表す。
• 重力 $h$-ポテンシャルのアインシュタイン方程式は (E1) と (E2) で与えられ、運動量-エネルギー d-テンソル ${\cal T}_{AB}$ の成分がリッチ d-テンソルとスカラー曲率に接続されている。
• 定常電磁力学の場合 ($g_{ij} = g_{ij}(x^k)$) には、リッチ d-テンソルは $R_{ij} = r_{ij}$, $H = 0$, $S = 0$ に簡略化され、$Sc(C) = r$ となり、空間計量のスカラー曲率が得られる。
• 保存則は $\left[\frac{R+S}{2}\right]_{/1} = R^m_{1|m} - P^{(m)}_{(1)1}|^{(1)}_{(m)}$ および同様の他の成分についての式として表され、物理的エネルギー運動量保存則と整合性を保つ。
• 運動量-エネルギー d-テンソルの成分 $\mathcal{T}_{1i}, \mathcal{T}_{i1}, \mathcal{T}^{(1)}_{(i)1}, \mathcal{T}^{(1)}_{1(i)}, \mathcal{T}^{(1)}_{i(j)}, \mathcal{T}^{(1)}_{(i)j}$ は、アインシュタイン方程式の整合性を保つために事前に消去される。
• この枠組みは重力場と電磁場を統一する：同じ幾何的構造から、曲率および d-テンソル分解を介してマクスウェル方程式とアインシュタイン方程式が得られる。