[論文レビュー] The Geometry of Supersymmetric Quantum Mechanics

C.M. Hull|ArXiv.org|Oct 4, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 57

ひとこと要約

本稿は、N 個の拡張されたスピン統計に従う1次元の超対称量子力学の幾何的枠組みを構築し、標的空間の幾何は N−1 個の複素構造がクリフォード代数を満たすことで支配されることを示している。N=3 および N=4 の場合、それぞれ1形式ポテンシャルとスカラーポテンシャルを用いた明示的構成がなされ、超ケーラー的ねじれ（HKT）幾何を一般化し、非クaternion的複素構造を許容する。主な貢献は、N>4 の場合に、ポテンシャルに基づく作用と微分的制約を用いた、拡張された超対称 sigma モデルの統一的記述の確立である。

ABSTRACT

One-dimensional sigma-models with N supersymmetries are considered. For conventional supersymmetries there must be N-1 complex structures satisfying a Clifford algebra and the constraints on the target space geometry can be formulated in terms of these. In the cases in which the complex structures are simultaneously integrable, a conventional extended superspace formulation is given, with the geometry determined by a 2-form potential for N=2, by a 1-form potential for N=3 and a scalar potential for N=4; for N>4 it is given by a scalar potential satisfying differential constraints. This gives explicit constructions of models with N=3 but not N=4 supersymmetry and of N=4 models in which the complex structures do not satisfy a quaternionic algebra. Generalisations with central terms in the superalgebra are also considered.

研究の動機と目的

• 1次元の N 拡張超対称 sigma モデルの標的空間幾何を分類すること。
• 標準的なクaternion的（HKT）ケースを超える、N=3 および N=4 超対称性の明示的モデルの構築。
• 複素構造が可積分でない、またはクaternion代数を満たさない場合の、拡張された超空間記述の一般化。
• N>4 の超対称性におけるスカラーポテンシャルの微分的制約を導出し、既知の結果を拡張すること。
• 超代数に中心的荷重を含むモデルを含め、それらの幾何的意味を分析すること。

提案手法

• 本稿は、標的多様体上に N−1 個の複素構造がクリフォード代数を満たすことで、N 拡張超対称 sigma モデルの幾何を特徴付ける。
• N=2 の場合、幾何は2形式ポテンシャルで記述される。N=3 の場合、複素構造が可積分であるとき、1形式ポテンシャルが導入される。
• N=4 の場合、スカラーポテンシャル L が N=4 超空間で用いられ、計量とねじれは L の微分と複素構造から導かれる。
• 作用は拡張超空間で定式化され、グラッサマン積分により成分作用が得られ、ねじれと計量項を含む有効作用が得られる。
• N>4 の場合、スカラーポテンシャル L の微分的制約を導出し、その解は複数の閉路積分として表現可能である。
• 超代数に中心的荷重を含むモデルの分析も行われ、標準的超対称性代数の一般化がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の N 拡張超対称 sigma モデルにおいて、標的多様体にどのような幾何的制約が生じるか？
• RQ2 3つの複素構造のうち2つしか超対称性を生成しない N=3 超対称モデルは、どのように構築可能か？
• RQ3 複素構造がクaternion代数を満たさない場合に、N=4 超対称モデルは実現可能か？
• RQ4 N>4 の超対称性におけるスカラーポテンシャルの微分的制約は何か？ そして、既知の HKT や KT 幾何をどのように一般化するか？
• RQ5 超代数に中心的荷重が存在する場合、標的空間の幾何と構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• N=3 超対称性で、3つの複素構造が同時に可積分である場合、幾何は局所的に1形式ポテンシャルで記述され、従来未知であった明示的モデルの構築が可能である。
• N=4 の場合、3つの複素構造が可積分だがクaternion的でないとき、幾何は特定の微分的制約を満たすスカラーポテンシャルによって決定され、HKT の一般化となる。
• 3つの複素構造がクaternion代数を満たす特別な場合、幾何は弱い HKT に還元され、以前の結果と整合的である。
• N>4 の場合、スカラーポテンシャルは非自明な微分的制約を満たさねばならず、N=8 の非自明な例が知られており、高次超対称性モデルの豊かなクラスが存在することが示唆される。
• 拡張超空間記述により、1つのスカラーポテンシャルで N=4 モデルを統一的に記述可能であり、計量とねじれはその微分と複素構造から導かれる。
• 本稿は、[5] と同様の条件下で OSp(N|1) 超共形対称性が可能であることを確立し、対称モデルのクラスを拡張する。