[論文レビュー] The geometry of the classical solutions of the Garnier systems

Marta Mazzocco|ArXiv.org|Jun 25, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝ヒルベルト問題と等モノドロミー変形を用いて、$n$ 変数 Garnier 系 ${\cal G}_n$ の古典的解の幾何的枠組みを確立する。古典的解が $l$ 個のモノドロミー行列が $\pm\mathbb{1}$ である場合に生じ、${\cal G}_n$ が ${\cal G}_{n-l}$ に還元されることを証明し、可約なモノドロミーを持つ解が Lauricella 超幾何関数に還元可能であることを特定する。Painlevé VI のすべての古典的非代数的解は、可約なモノドロミーを持つか、少なくとも一つのモノドロミー行列が $\pm\mathbb{1}$ であると完全に分類される。

ABSTRACT

Our aim is to find a general approach to the theory of classical solutions of the Garnier system in $n$-variables, ${\cal G}_n$, based on the Riemann-Hilbert problem and on the geometry of the space of isomonodromy deformations. Our approach consists in determining the monodromy data of the corresponding Fuchsian system that guarantee to have a classical solution of the Garnier system ${\cal G}_n$. This leads to the idea of the reductions of the Garnier systems. We prove that if a solution of the Garnier system ${\cal G}_{n}$ is such that the associated Fuchsian system has $l$ monodromy matrices equal to $\pm\ID$, then it can be reduced classically to a solution of a the Garnier system with $n-l$ variables ${\cal G}_{n-l}$. When $n$ monodromy matrices are equal to $\pm\ID$, we have classical solutions of ${\cal G}_n$. We give also another mechanism to produce classical solutions: we show that the solutions of the Garnier systems having reducible monodromy groups can be reduced to the classical solutions found by Okamoto and Kimura in terms of Lauricella hypergeometric functions. In the case of the Garnier system in 1-variables, i.e. for the Painlevé VI equation, we prove that all classical non-algebraic solutions have either reducible monodromy groups or at least one monodromy matrix equal to $\pm\ID$.

研究の動機と目的

• 等モノドロミー変形とリーマン＝ヒルベルト問題を用いて、$n$ 変数 Garnier 系 ${\cal G}_n$ の古典的解に対する一般的な幾何的アプローチを構築すること。
• 関連するフックス型系のモノドロミー・データを通じて古典的解を特徴付けること。
• 還元機構を確立する：$l$ 個のモノドロミー行列が $\pm\mathbb{1}$ である場合、解は ${\cal G}_{n-l}$ の古典的解に還元される。
• 可約なモノドロミー群を持つ解が、Lauricella 超幾何関数を介して古典的に表現可能であることを示すこと。
• Painlevé VI 方程式のすべての古典的非代数的解を、可約なモノドロミーか、モノドロミー行列 $\pm\mathbb{1}$ を持つものとして完全に分類すること。

提案手法

• 本手法は、リーマン＝ヒルベルト問題を用いて、${\cal G}_n$ の古典的解を保証するモノドロミー・データを特定する。
• $l$ 個のモノドロミー行列が $\pm\mathbb{1}$ に等しい場合、Garnier 系は低次元の系 ${\cal G}_{n-l}$ に還元される。
• 本手法は、$w_0, w_1, w_3, w_4$ によって生成される有理写像と、$T_1, T_3, T_4$ の対称性に基づき、パラメータとモノドロミー・データを正規化する。
• モノドロミー条件から代数的関係 ${\cal R}_{\infty}=0$ が導かれる。これにより、古典的解が満たす一階代数的微分方程式が得られる。
• ${\vartheta_{\infty}}=2$ および $-1$ の場合を含む解析により、一般化された Chazy 解が得られ、$\theta_k \in \mathbb{Z}$ または $\vartheta_{\infty} + \sum \varepsilon_k \theta_k \in 2\mathbb{Z}$ が重要な条件となる。
• 定理 31 を用いて分類が完成し、すべての古典的解がこれらのモノドロミー条件から生じることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Garnier 系 ${\cal G}_n$ の解が、どのようなモノドロミー条件下で古典的となるか。
• RQ2 $l$ 個のモノドロミー行列が $\pm\mathbb{1}$ である場合、${\cal G}_n$ がどのように ${\cal G}_{n-l}$ に還元されるか。
• RQ3 可約なモノドロミー群を持つ解は、Lauricella 超幾何関数などの既知の古典的関数に体系的に還元可能か。
• RQ4 モノドロミー・データの観点から、Painlevé VI 方程式の古典的非代数的解の完全な分類は何か。
• RQ5 ${\cal G}_n$ のすべての古典的解が、モノドロミー条件 $M_k = \pm\mathbb{1}$ または可約なモノドロミー群から生じるか。

主な発見

• ${\cal G}_n$ の関連するフックス型系において、$l$ 個のモノドロミー行列が $\pm\mathbb{1}$ である場合、解は ${\cal G}_{n-l}$ の古典的解に古典的に還元される。
• すべての $n$ 個のモノドロミー行列が $\pm\mathbb{1}$ である場合、解は ${\cal G}_n$ に対して古典的である。
• 可約なモノドロミー群を持つ解は、Okamoto や Kimura が発見した Lauricella 超幾何関数に基づく古典的解に還元可能である。
• Painlevé VI（$n=1$）の場合、すべての古典的非代数的解は、可約なモノドロミーを持つか、少なくとも一つのモノドロミー行列が $\pm\mathbb{1}$ である。
• 一般化された Chazy 解は、モノドロミー条件 ${\cal M}_{\infty} = \pm\mathbb{1}$ から生じ、$p(x)$ および $y(x)$ に対して明示的な代数的微分方程式が導かれる。
• 古典的解の分類は完全である：すべての解は、$\theta_k \in \mathbb{Z}$ または $\vartheta_{\infty} + \sum \varepsilon_k \theta_k \in 2\mathbb{Z}$ から生じ、定理 31 により確認される。