[論文レビュー] The geometry of the moduli space of odd spin curves

Gavril Farkas, Alessandro Verra|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、奇数スピン曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ の被約幾何について調査し、$g \leq 8$ のとき unirational であり、$g \leq 11$ のとき uniruled であることを示している。$g = 12$ で重要な転換点が生じ、 canonical class が nef になる。Mukai モデルと $K3$ 表面における退化技法を用いて、明示的な有理パラメータ化を構成し、除数の傾きを計算することで、 genus 12 において Slope Conjecture の反例を構成した。

ABSTRACT

We describe the birational geometry of the moduli space S_g^{-} of odd spin curves (theta-characteristics) for all genera g. The odd spin moduli space is a uniruled variety for g<12, and of general type for g at least 12. Furthermore, for g<9 we use the existence of Mukai models of the moduli space of curves, to prove that S_g^{-} is unirational. Our results show that in genus 8, the odd spin moduli space in unirational, whereas its even counterpart is of Calabi-Yau type.

研究の動機と目的

• $g$ が増加するにつれて、モジュライ空間 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ の有理性から最大の Kodaira 次元への遷移を理解すること。
• Mukai モデル $\overline{\mathcal{M}}_g$ を用いて、小さい $g$ における $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ の明示的な unirational パラメータ化を構成すること。
• $K_{\overline{\mathcal{S}}_g^-}$ の正性を分析し、それがいつ nef になるかを特定すること。
• $\overline{\mathcal{M}}_{12}$ 上に、$6 + \frac{12}{13}$ より小さい傾きを持つ有効除数を構成し、Slope Conjecture の反例を提供すること。

提案手法

• 一般の canonical 曲線の genus $g$ を得る線形切断を持つ、$V_g \subset \mathbb{P}^{n_g + g - 2}$ における Mukai 多様体 $V_g$ を用いる。
• $C$、$Z$、$V_g$ 内のノードを持つ曲線 $\Gamma$ をパラメータ化する対応 $\mathcal{P}_{g,\delta}^o$ を構成。ここで $Z$ は長さ $2g-2$ の $0$ 次元部分スキームで、$\dim \langle Z \rangle = g-2$ である。
• $\mathrm{Aut}(V_g)$ の作用による商多様体 $\overline{\mathbb{P}}_{g,\delta}$ を定義し、$\overline{\mathcal{S}}_g^-$ および境界モジュライ空間 $B_{g,\delta}^-$ への射影を用いる。
• ${\mathbb P}^5$ 内の二次曲面の退化ペンキュクルの系列に対して、公式 $[\mathcal{H}] = (e-1)(e c_1(\mathcal{F}) - (e^2 + e - 4)c_1(\mathcal{E}))$ を適用する。
• 乗法写像 $\mu_0(A)$ の最大ランク予想を用いて、$\mathbb{P}^5$ 内のペンキュクル $\mathbf{P}_{C,A}$ の全射性を保証する。
• [FR] の結果を適用し、このようなペンキュクルの退化性の系列のクラスを計算することで、除数 $\overline{\mathcal{H}}_{12}$ の傾きを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの genus $g$ に対して、モジュライ空間 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ が unirational であるか。
• RQ2 $g$ が増加するにつれて、canonical class $K_{\overline{\mathcal{S}}_g^-}$ はどのように振る舞うか。特に、負性と nef 性の関係において。
• RQ3 $K3$ 表面における特別なペンキュクルの存在が、$g \leq 11$ の $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 内の有理曲線の構成に利用できるか。
• RQ4 $\overline{\mathcal{M}}_{12}$ 内の除数 $\overline{\mathcal{H}}_{12}$ の傾きは何か。また、Slope Conjecture を破るか。
• RQ5 $\mathcal{M}_{12}$ 内の二次曲面の退化ペンキュクルを持つ曲線の系列は除数か。そのクラスは何か。

主な発見

• $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ は $g \leq 8$ のとき unirational である。これは、unirational な基底上の射影バンドルとの中の被約同型写像によって示された。
• $g \leq 11$ のとき、$\overline{\mathcal{S}}_g^-$ は uniruled である。有理曲線 $P$ に対して $P \cdot K_{\overline{\mathcal{S}}_g^-} = 2g - 24 < 0$ が成り立ち、$g = 12$ で幾何的性質の変化が生じる。
• $\overline{\mathcal{M}}_{12}$ 内の除数 $\overline{\mathfrak{D}}_{12}$ の傾きは $s(\overline{\mathfrak{D}}_{12}) = \frac{4415}{642} \approx 6.877$ であり、$6 + \frac{12}{13} \approx 6.923$ より小さいため、Slope Conjecture を破る。
• ${\mathcal M}_{12}$ 内の二次曲面の退化ペンキュクルを持つ曲線の系列 $\mathcal{H}_{12}$ は有効除数であり、傾き $s(\overline{\mathcal{H}}_{12}) = \frac{373}{54} \approx 6.907$ を持ち、これも Slope Conjecture を破る。
• $A^1(\overline{\textbf{M}}^{p}_{12})$ 内の $\widetilde{\mathcal{H}}_{12}$ のクラスは $10\sigma_*(6c_1(\mathcal{F}) - 38c_1(\mathcal{E}))$ として計算され、仮想クラス計算により傾きが確認された。
• $g = 10$ および $g = 11$ の $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 内の有理曲線の構成は、$K3$ 表面におけるノードを持つ曲線への退化に依存しており、これにより uniruled である性質が $g = 11$ まで拡張された。