[論文レビュー] The Giry monad as a codensity monad

Kirk Sturtz|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Rough Sets and Fuzzy Logic被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、カテゴリー的確率における中心的役割を果たすギリィモナドを、凸空間から可測空間への関手から生じるコデニシティモナドとして確立する。確率測度が単位区間への弱く平均を保つ、極限を保存する関数的であることを示すことにより、ギリィモナドが二重双対化モナドの部分モナドと同型であることを証明し、ギリィモナドの強いモナド構造を用いて積分作用素を導出する。

ABSTRACT

We present a categorical viewpoint of probability measures by showing that a probability measure can be viewed as a weakly averaging affine measurable functional taking values in the unit interval which preserves limits. The probability measures on a space are the elements of a submonad of a double dualization monad on the category of measurable spaces into the unit interval, and this monad is naturally isomorphic to the Giry monad. We show this submonad is the codensity monad of a functor from the category of convex spaces to the category of measurable spaces. A theorem proving the integral operator acting on the space of measurable functions and the space of probability measures on the domain space of those functions is given using the strong monad structure of the Giry monad.

研究の動機と目的

• 確率測度を単位区間への弱く平均を保つ、極限を保存する関数的として圏論的に特徴づけること。
• ギリィモナドが可測空間上の二重双対化モナドの部分モナドとして自然に生じることを示すこと。
• ギリィモナドが凸空間から可測空間への関手のコデニシティモナドとして同型であることを証明すること。
• ギリィモナドの強いモナド性を用いて、可測関数と確率測度に対する積分作用素の存在と構造を確立すること。

提案手法

• 確率測度を単位区間へのアフィン的かつ可測な関数的として表現し、極限を保存することを保証する。
• 可測空間の圏に値が単位区間である二重双対化モナドを構成する。
• この二重双対化モナドの部分モナドを特定し、それが確率測度の構造を正確に捉えていることを示す。
• 圏論的双対性と極限保存性の性質を用いて、この部分モナドがギリィモナドと同型であることを示す。
• ギリィモナドが凸空間から可測空間への関手のコデニシティモナドとして生じることを証明する。
• ギリィモナドの強いモナド構造を用いて、可測関数と確率測度に作用する積分作用素を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率測度は、単位区間への値をとる可測空間上の関数的としてどのように圏論的に特徴づけられるか？
• RQ2 ギリィモナドは、凸空間と可測空間の間の関手から生じるコデニシティモナドと同型か？
• RQ3 極限保存性と弱く平均を保つ性質は、可測な確率関数的を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 可測空間上の二重双対化モナドは、ギリィモナドの構造とどのように関係しているか？
• RQ5 ギリィモナドの強いモナド構造から、可測関数と確率測度に対する積分作用素を導出できるか？

主な発見

• ギリィモナドは、単位区間への値をとる可測空間上の二重双対化モナドの部分モナドと同型である。
• 確率測度は、正確に弱く平均を保ち、極限を保存し、アフィン的かつ可測な単位区間への関数的である。
• 確率測度を捉える部分モナドは、自然にギリィモナドと同型である。
• ギリィモナドは、凸空間から可測空間への関手のコデニシティモナドとして生じる。
• 可測関数と確率測度に対する積分作用素は、ギリィモナドの強いモナド構造から導出される。
• この構成により、確率、凸性、可測関数的の間の深い圏論的双対性が確立される。