[論文レビュー] The global existence of smooth solutions of relativistic string equations in the Schwarzschild space-time

Chun-Lei He, De-Xing Kong|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2010

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、初期データが小さく、弧長が小さいという仮定の下で、シュバルツシルト時空における相対論的ストリング方程式のコーシー問題に対して、滑らかな解の全球的存在を確立する。シュバルツシルト座標系における非線形波系の解析と、リーマン不変量および線形退化性の活用により、球対称座標系における曲率に起因する非線形性や特異性にもかかわらず、長時間にわたる古典的解の存在を証明する。

ABSTRACT

This paper concerns the motion of relativistic strings in the Schwarzschild space-time. As a general framework, we first analyze the basic equations for the motion of a p-dimensional extended object in a general enveloping space-time (N; ~g), which is a given Lorentzian manifold, and then particularly investigate the interesting properties enjoyed by the equations for the motion of relativistic strings in the Schwarzschild space-time. Based on this, under suitable assumptions we prove the global existence of smooth solutions of the Cauchy problem for the equations for the motion of relativistic strings with small arc length in the Schwarzschild space-time.

研究の動機と目的

• 曲がった時空における相対論的ストリング力学の滑らかな解の全球的存在を確立すること。
• シュバルツシルト幾何における相対論的ストリングを記述する非線形波系の構造を分析すること。
• 曲率に起因する非線形性および球対称座標系における座標特異性に起因する課題を克服すること。
• compact 支持を持つ小さな初期データに対して、厳密な存在定理を提供すること。

提案手法

• 一般のローレンツ多様体における相対論的ストリングのボーン＝インフェルト型非線形波方程式系を導出する。
• 時空をシュバルツシルト時空に適応させ、主要な幾何的および双曲型的性質を同定する。
• リーマン不変量を導入し、系の分解と伝播特性の分析を行う。
• ラクスの線形退化性条件を用いて非線形相互作用を制御し、衝撃の生成を防ぐ。
• 座標変換を用いて球対称座標系における特異性を回避し、カルテシアンに類似したシュバルツシルト座標系を採用する。
• クリストウドゥルーよりもインspiredされたエネルギー推定およびノルム条件技術を用いて、解の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、シュバルツシルト時空における相対論的ストリング方程式の滑らかな解が全球的に存在するか？
• RQ2 曲率効果および事象の地平面は、相対論的ストリング解の伝播および安定性にどのように影響するか？
• RQ3 双曲型構造およびリーマン不変量を用いて、解の爆発を防げるか？
• RQ4 座標系の選択が、特異性の回避にどのように重要か？
• RQ5 線形退化性は、解の長時間存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• シュバルツシルト時空における相対論的ストリングの系は、非厳密双曲型であり、10個の実固有値を持つことから、双曲型性が確認される。
• この系はラクスの意味での線形退化性を満たしており、衝撃の生成を防ぎ、全球的解の存在を支持する。
• 2つのリーマン不変量 λ₊ および λ₋ は、非線形波の伝播を支配する輸送方程式を満たす。
• リーマン不変量により、系が不変変数の観点から再定式化可能となり、非線形相互作用の解析が簡略化される。
• 系の1つの項に sin(R₂) が分母に現れるため、座標特異性が生じ、球対称座標系は一般の解析に不適切である。
• 著者らは、このような特異性を回避できるため、カルテシアンに類似したシュバルツシルト座標系が、全球的解の証明において好ましいと結論づける。