[論文レビュー] The Global Jacquet-Langlands Correspondence via Tensor Products

Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2026

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ひとこと要約

この論文は、全体の Jacquet–Langlands 対応を GL(2) のグローバルヒーケ代数上のテンソル積として実現し、similitude theta対応を通じて兄弟概算を統合する。虚部と非虚部の場所を統合的に扱う。

ABSTRACT

We prove that the global Jacquet--Langlands correspondence ${ m JL}$ for ${ m GL}(2)$ can be realized via tensor products over Hecke algebras. Let $G$ be a non-split inner form of ${ m GL}(2)$ over a number field. Using the similitude theta correspondence, the space $L^2(D(\mathbb{A}) imes \mathbb{A}^{ imes})$ acquires the structure of a $G(\mathbb{A})$-$(G(\mathbb{A}) imes { m GL}(2,\mathbb{A}))$ bimodule such that $L^2(G(F)\backslash G(\mathbb{A}),χ)\otimes_{\mathcal{H}(G)}L^2(D(\mathbb{A}) imes \mathbb{A}^{ imes})~\cong~\oplus_{π\in {\mathcal{A}}(G,χ^{-1})}$ $π\otimes{ m JL}(π).$ This decomposition into irreducible representations of $G(\mathbb{A}) imes { m GL}(2,\mathbb{A})$ recovers the full global Jacquet-Langlands correspondence.

研究の動機と目的

• Howe 双対性と theta 対応を用いて四元数内積の自動表現を Howe 双対性と theta 対応でquotientする動機づけ。
• グローバルヒーケ代数上のテンソル積としてグローバル Jacquet–Langlands 転送を実現する。
• similitude 設定で局所–全体の theta 対応を橋渡しし JL 転送を回復する。
• アーチメイディアンと非アーチメイディアンの両方の場を trace 公式なしで均一に扱う枠組みを提供する。

提案手法

• シンプレクティック群内のデュアル対の Howe 双対性と theta 対応を用いる。
• similitude（誘導） Weil 表現を展開し、グローバルヒーケ代数上のテンソル積を定義する。
• similitude 大 theta 昇収をテンソル積として実現可能であることを示す：Θ(π) ≅ π^∨ ⊗_{ℋ(G)} Ω_𝔸。
• グローバルな自動相関を確立する：L^2(G(F)ackslash G(𝔄), χ) ⊗_{ℋ(G)} L^2(D(𝔄)×𝔸^×) ≅ ⊕ π ⊗ JL(π)。
• theta 昇の局所–全体適合性をすべての場所で確立し、 quaternionic 設定における局所昇の既約性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(2) のグローバル Jacquet–Langlands 対応はグローバルヒーケ代数上のテンソル積として実現可能か？
• RQ2 similitude theta 対応は自動スペクトラム内の Jacquet–Langlands 転送をどう符号化するか？
• RQ3 局所 Howe 双対性の結果は quaternionic デュアル対に対してグローバル設定にも一様に拡張されるか？
• RQ4 trace 公式を使わず、アーチメイディアンと非アーチメイディアンの場所をテンソル積の枠組みで一様に扱えるか？

主な発見

• グローバル theta 昇を全グローバルヒーケ代数上のテンソル積として表す標準同型が存在する。
• グローバル Jacquet–Langlands 転送はテンソル積実現から生じ、全ての場所で局所昇と整合する。
• 自動分解 L^2(G(F)ackslash G(𝔄), χ) ⊗_{ℋ(G)} L^2(D(𝔄)× 𝔸^×) ≅ ⊕ π ⊗ JL(π) の設定を D^×(𝔄) × GL(2, 𝔄 の下で回復する。
• 一様で trace-公式に依存しない方法を提供し、アーチメイディアンと非アーチメイディアンの解析をヒーケーモジュールのテンソル積を介して整合させる。
• テンソールド積実現は theta 函子性とグローバル転送原理を GL(2) とその quaternionic 内部形へ結びつける。