[論文レビュー] The Global Renormalization Group Trajectory in a Critical Supersymmetric Field Theory on the Lattice Z^3

P. K. Mitter, Scoppola, B.|Sep 25, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Z³格子上の臨界超対称場理論において、すべてのスケールでゼロから一様に離れた相互作用を有する、グローバルに有界な再帰縮約群（RG）軌道の存在を確立する。バナッハ空間ノルムとポリマー展開を用いた厳密なウィルスン型RGアプローチにより、三次元における弱い自己回避Lévy歩行の非ガウス的固定点の存在を証明し、臨界指数の計算の基盤を築く。

ABSTRACT

We consider an Euclidean supersymmetric field theory in $Z^3$ given by a supersymmetric $Φ^4$ perturbation of an underlying massless Gaussian measure on scalar bosonic and Grassmann fields with covariance the Green's function of a (stable) Lévy random walk in $Z^3$. The Green's function depends on the Lévy-Khintchine parameter $α={3+ε\over 2}$ with $00$ sufficiently small and initial parameters held in an appropriate domain the existence of a global renormalization group trajectory uniformly bounded on all renormalization group scales and therefore on lattices which become arbitrarily fine. At the same time we establish the existence of the critical (stable) manifold. The interactions are uniformly bounded away from zero on all scales and therefore we are constructing a non-Gaussian supersymmetric field theory on all scales. The interest of this theory comes from the easily established fact that the Green's function of a (weakly) self-avoiding Lévy walk in $Z^3$ is a second moment (two point correlation function) of the supersymmetric measure governing this model. The control of the renormalization group trajectory is a preparation for the study of the asymptotics of this Green's function. The rigorous control of the critical renormalization group trajectory is a preparation for the study of the critical exponents of the (weakly) self-avoiding Lévy walk in $Z^3$.

研究の動機と目的

• 弱い自己回避Lévy歩行に対するZ³格子上での非ガウス的超対称場理論を厳密に構成すること。
• すべての格子スケールにわたってグローバルに有界な再帰縮約群（RG）軌道の存在を確立すること。
• 十分に小さいε > 0に対して、RGフローにおける臨界（安定）多様体の存在を証明すること。
• 弱い自己回避Lévy歩行の三次元における臨界指数を計算する基盤を提供すること。

提案手法

• Z³上での安定Lévy歩行のグリーン関数で与えられる共分散を有する質量ゼロのガウス測度に対する超対称Φ⁴摂動を定式化する。
• より細かい格子に段階的に粗化を行う反復的コarsening写像を用いたウィルスン型RGアプローチを用い、結合定数とポリマー活性を追跡する。
• すべてのスケールに一様にRGフローを制御するノルムを持つバナッハ空間としての相互作用を定義し、グリフィス特異性の病理的挙動を回避する。
• 無関係な相互作用を取り扱い収束を保証するため、ポリマー展開とクラスター展開技術を用いる。
• バナッハ空間における陰関数定理を適用し、ユニット格子スケールにおける臨界質量の一意性を証明する。
• すべてのRGスケールにわたって有効結合定数gnがゼロから一様に離れていることを確立し、非ガウス的固定点を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α = (3+ε)/2 かつ十分に小さいε > 0 に対して、Z³上での臨界超対称Φ⁴理論におけるグローバルに有界な再帰縮約群（RG）軌道が存在するか？
• RQ2 この格子超対称場理論において、臨界（安定）多様体を厳密に構成できるか？
• RQ3 有効結合定数gnがすべてのRGスケールにわたってゼロから一様に離れているか？これは非ガウス的固定点の存在を示唆する。
• RQ4 すべての格子スケールに一様性を保ちながら、無限体積極限にRG軌道を拡張できるか？

主な発見

• RG軌道は、格子がいかに細かくても、すべての再帰縮約群スケールにわたってグローバルに有界であり、一様に制御されている。
• すべてのn ≥ 0に対して有効結合定数gnがゼロから一様に離れている。具体的には、0 < ν < 1/2 に対して (1 − 1/(4ν))¯g < gn < (1 + 1/(4ν))¯g を満たす。
• 臨界質量µn0は初期結合定数˜g0のC¹関数として一意に決定され、臨界軌道の一意性が証明された。
• すべてのスケールにわたる有効結合定数の正の均一性により、非ガウス的固定点の存在が確立された。
• RGフローはバナッハ空間ノルムにおいて解析的であり、臨界多様体を構成するための陰関数定理の厳密な適用が可能である。
• 本構成は、三次元における弱い自己回避Lévy歩行の臨界指数を計算するための厳密な基盤を提供する。