[論文レビュー] The Golden Age of Immersion Theory in Topology: 1959-1973

David Spring|ArXiv.org|Jul 9, 2003

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、1959年から1973年までの間、浸漬理論的トポロジーの基礎的発展をたどるものであり、スメールによる浸漬分類に関する業績が、グロモフとエリヤシベルクによる凸統合とジャンクスペース法を用いたh原理の発展の土台を築いたことを強調している。中心的貢献は、偏微分関係をホモトピー論的技法によって解くための幾何的技法の形式化と一般化であり、その頂点に、ホモトピーに関しての浸漬と埋め込みの分類を統一的に扱う枠組みが位置づけられている。

ABSTRACT

We briefly review selected contributions to immersion-theoretic topology, from S. Smale's immersion theory for spheres to M. Gromov's convex integration theory, during the early "golden" period from about 1959-1973. Historical remarks are included and technical concepts are presented informally.

研究の動機と目的

• 1959年から1973年までの浸漬理論的トポロジーの形成期を記録し、h原理が統合的枠組みとして登場する過程を強調すること。
• ジャンクスぺースにおける偏微分関係を解くための幾何的技法の進化を明らかにすること、とりわけスメール、グロモフ、エリヤシベルクの業績に焦点を当てる。
• レニングラード大学のトポロジーSeminar（ロフリン主導）が、グロモフとエリヤシベルクの協働を促進し、分野の発展に与えた役割を強調すること。
• スメールの初期の結果からグロモフの凸統合理論への概念的・技術的系譜を確立し、多様な位相的・幾何的問題の解法を可能にする仕組みを示すこと。
• 現在のトポロジーにおいても影響力を持つ、フォリエーション、埋め込み、シンプレクティック構造に関する主要な進展を、歴史的文脈に基づいて要約すること。

提案手法

• ヤコビ行列の最大ランク条件に基づき、球面や多様体のユークリッド空間への浸漬の分類にホモトピー論的技法を適用すること。
• h原理を用いてスメール理論を高階のジャンクスぺースへ一般化し、偏微分関係の解の存在をホモトピー的条件に還元すること。
• グロモフが1973b年に開発した凸統合理論を用い、ジャンクスぺースにおける反復的摂動によって、開いた偏微分関係の解を構成すること。
• ホノミック近似とホノミック同相変形技法を用い、特異点を単純化し、埋め込み問題におけるホノミック解を達成すること。
• 被覆ホモトピー法とジャンクバンドルのファイブレーションを用い、特にフォリエーションの文脈において、積分可能な分布の存在を分析すること。
• サーストンのコドメイン1およびコドメイン1より大きいフォリエーションに関する研究で示されたように、開多様体からの結果を、洗練された幾何的構成によって閉多様体へ拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スメールが1959年に球面Sⁿをℝ^q（q ≥ n+1）に浸漬する分類を提示したことで、どのような広範な位相的プログラムが開始されたのであろうか？
• RQ2 ナッシュが1954年にC¹同相埋め込み定理を示したことは、グロモフの凸統合理論の前身としてどのような役割を果たしたのであろうか？
• RQ3 ロフリンのセミナーでレニングラードで開催されたグロモフとエリヤシベルクの協働は、特異点除去とh原理における飛躍的進歩をどのようにもたらしたのであろうか？
• RQ4 h原理は、開多様体および閉多様体上のフォリエーションの存在問題をどのように解消したのであろうか？
• RQ5 グロモフの1973b年の凸統合理論は、どのようにして以前の結果を一般化し、微分トポロジーおよび偏微分方程式への新たな応用を可能にしたのであろうか？

主な発見

• スメールの1959年のSⁿからℝ^qへの浸漬分類（q ≥ n+1）は、後に彼の1966年フィールズ賞受賞の主な理由となった、浸漬理論的トポロジーの基礎的枠組みを確立した。
• グロモフの1973b年の凸統合理論は、ジャンクスペースにおける開いた偏微分関係の一般解を提供し、以前の浸漬と埋め込みに関する結果を統合的かつ拡張的にした。
• 開多様体上のフォリエーションに対するh原理は、グロモフ（1969年）、フィリップス（1969年、1970年）、ヘーフリッガー（1970年）によって、浸漬理論的技法を用いて解決された。その後、サーストンが閉多様体の場合を解決した。
• サーストンは、閉n多様体に(n−1)次元のフォリエーションが存在するための必要十分条件が、オイラー特性が0であることであることを証明した。この結果により、彼は1982年にフィールズ賞を受賞した。
• エリヤシベルクの1972年の学位論文における特異点の手術と、その後のグロモフとの協働は、写像における特異点の単純化と除去の体系的技法を生み出し、h原理の発展に貢献した。
• ホノミック近似定理は、後にエリヤシベルクとミシャーチェフ（2002年）によって形式化されたが、それ以前の構成の本質的幾何的メカニズムを捉えており、浸漬理論の核心的アイデアを決定的な形で定式化した。