[論文レビュー] The Goldman-Turaev Lie bialgebra and the Kashiwara-Vergne problem in higher genera

Anton Alekseev, Nariya Kawazumi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、任意の genus $g$ と $n+1$ 個の境界成分をもつコンパクトな向きつけられた曲面上で、ゴールドマン＝トゥラエフのリーバイ代数の形式的性を示す。これは、高(genus)における一般化されたカシワラ＝ベルヌーク（KV）問題を導入することによって達成される。Lie バイ代数同型写像 $\theta: \mathfrak{g}(\Sigma) \to \mathrm{gr}\,\mathfrak{g}(\Sigma)$ で $\mathrm{gr}\,\theta = \mathrm{id}$ を満たすものが存在するための必要十分条件は、$F \in \mathrm{Aut}(L)$ が高(genus)KV問題を解くことである。$g=0, n=2$（古典的KV）および $g=1, n=0$ の場合に、楕円的アソシエーターを用いて解を構成し、すべての $g$ と $n$ に対して形式的性が成立するが、genus 1 における特定のフレーミングでは形式的性が成立しない。

ABSTRACT

For a compact oriented surface $Σ$ of genus $g$ with $n+1$ boundary components, the space $\mathfrak{g}(Σ)$ spanned by free homotopy classes of loops in $Σ$ carries the structure of a Lie bialgebra equipped with a natural decreasing filtration, whose structure morphisms are called the Goldman bracket and the (framed) Turaev cobracket. We address the following Goldman-Turaev (GT) formality problem: construct a Lie bialgebra homomorphism $θ$ from $\mathfrak{g}(Σ)$ to its associated graded ${ m gr}\, \mathfrak{g}(Σ)$ such that ${ m gr} \, θ= { m id}$. In order to solve it, we define a family of higher genus Kashiwara-Vergne (KV) problems for an element $F\in { m Aut}(L)$, where $L$ is a free Lie algebra. In the case of $g=0$ and $n=2$, it is the classical KV problem from Lie theory. For $g>0$, these KV problems are new. We show that an element $F$ induces a GT formality map if and only if it is a solution of the KV problem. A crucial step in solving the higher genus KV problem is to construct solutions for the case of $g=1$ and $n=1$ in terms of certain elliptic associators following Enriquez. By solving the KV problem, we establish the GT formality for every $g$ and $n$, with the exception of some framings for $g=1$ in which case the GT formality actually does not hold. Furthermore, we introduce pro-unipotent groups ${ m KV}$ and ${ m KRV}$ which act on the space of solutions of the KV problem freely and transitively. There are injective maps ${ m GT}_1 o { m KV}, { m GRT}_1 o { m KRV}$ from Grothendieck-Teichmüller groups. As an application, we show that the Johnson obstruction given by the Turaev cobracket coincides with the one given by the Enomoto-Satoh trace. As part of our study, we prove a uniqueness theorem for non-commutative divergence cocycles on the group algebra of a free group which is of independent value.

研究の動機と目的

• genus 0 における古典的カシワラ＝ベルヌーク問題を、境界をもつ高(genus)曲面へ拡張すること。
• 各フレーミング付き、向きつけられた genus $g$ の曲面（$n+1$ 個の境界成分をもつ）に対して、一般化されたKV問題を定義すること。
• 高(genus)KV問題の解とゴールドマン＝トゥラエフのリーバイ代数のホモモーマーフィズム拡張（形式的写像）との間の対応を確立すること。
• エヌリケスの枠組みに従い、楕円的アソシエーターを用いて $g=1, n=0$ の場合のKV問題の解を構成し、genus 1 の例外的フレーミングを除き、すべての $g$ と $n$ に対して形式的性を完成させること。
• 解空間に自由かつ推移的に作用するプロ-unipotent 群 $\mathrm{KV}$ と $\mathrm{KRV}$ を導入すること。

提案手法

• genus $g$ で $n+1$ 個の境界成分をもつ曲面 $\Sigma$ の閉路の自由ホモトピー類に、フィルター付きリーバイ代数構造 $\mathfrak{g}(\Sigma)$ を導入する。
• 自由リーリング $L$ に対して $F \in \mathrm{Aut}(L)$ に対する一般化されたカシワラ＝ベルヌーク問題を定義し、古典的KV問題を高(genus)に一般化する。
• Lie バイ代数同型写像 $\theta: \mathfrak{g}(\Sigma) \to \mathrm{gr}\,\mathfrak{g}(\Sigma)$ で $\mathrm{gr}\,\theta = \mathrm{id}$ を満たすものが存在するための必要十分条件が、$F$ が高(genus)KV問題を解くことであることを示す。
• $g=1, n=0$ のKV問題の解を、エヌリケスの枠組みに従い楕円的アソシエーターを用いて構成する。
• 解空間に自由かつ推移的に作用するプロ-unipotent 群 $\mathrm{KV}$ と $\mathrm{KRV}$ を定義する。
• ペア・オブ・パンツ分解に依存する、Grothendieck-Teichmüller 群から $\mathrm{KV}$ への単射群準同型 $\mathrm{GT}_1 \to \mathrm{KV}$ および $\mathrm{GRT}_1 \to \mathrm{KRV}$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゴールドマン＝トゥラエフのリーバイ代数は、高(genus)においてホモモーフィック拡張（形式的性）をもつか？
• RQ2 古典的カシワラ＝ベルヌーク問題は、$g > 0$ の曲面へ一般化可能か？
• RQ3 genus 1 の曲面において、どのフレーミングの選択肢でゴールドマン＝トゥラエフのリーバイ代数の形式的性が失敗するか？
• RQ4 Grothendieck-Teichmüller 群は、高(genus)KV問題の解空間とどのように関係するか？
• RQ5 楕円的アソシエーターは、$g=1, n=0$ のKV問題の解を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• ゴールドマン＝トゥラエフのリーバイ代数の形式的性は、すべての $g$ と $n$ に対して成立するが、genus 1 における特定のフレーミングでは失敗する。
• $g=0, n=2$ のKV問題の解は、既存の研究で確立されており、これらは genus 0 における古典的形式的性に対応する。
• $g=1, n=0$ の場合、楕円的アソシエーターを用いてKV問題の解が構成され、古典的枠組みが高(genus)へ拡張される。
• $\mathrm{KV}$ は、高(genus)KV問題の解空間に自由かつ推移的に作用し、同時に完成化されたリーバイ代数 $\mathfrak{g}(\Sigma)$ への自己同型として作用する。
• $\mathrm{KRV}$ も解空間に自由かつ推移的に作用し、ペア・オブ・パンツ分解に依存する単射群準同型 $\mathrm{GT}_1 \to \mathrm{KV}$ および $\mathrm{GRT}_1 \to \mathrm{KRV}$ が存在する。
• 自由群の群代数上の非可換発散コサイクルに関する一意性定理が証明され、これはリーリング理論において独立した関心をもつ。