[論文レビュー] The Goursat Problem for the Einstein-Vlasov System: (I) The Initial Data Constraints

Calvin Tadmon|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、調和座標系を用いて、2つの交差する光円錐超曲面上におけるアインシュタイン＝ヴラソフ系の初期データ制約を解くための枠組みを確立する。さらに、計量成分に追加の仮定を課すことで、分布関数を制約する積分方程式を導出し、削減された非線形双曲型系の整合性のある初期データの構成を可能にする。最終節では、代数的および積分的恒等式を用いて明示的な解が得られる。

ABSTRACT

We show how to assign, on two intersecting null hypersurfaces, initial data for the Einstein-Vlasov system in harmonic coordinates. As all the components of the metric appear in each component of the stress-energy tensor, the hierarchical method of Rendall can not apply strictly speaking. To overcome this difficulty, an additional assumption have been imposed to the metric on the initial hypersurfaces. Consequently, the distribution function is constrained to satisfy some integral equations on the initial hypersurfaces.

研究の動機と目的

• 2つの交差する光円錐超面上に指定されたデータを用いたアインシュタイン＝ヴラソフ系の特徴的初期値問題に対処すること。
• ストレステンソル成分に全計量成分が依存するため、レンダールの階層的アプローチを適用する際の障害を克服すること。
• 初期超曲面上での計量に補助的仮定を課すことにより、調和座標系における削減されたアインシュタイン＝ヴラソフ系の整合性のある初期データを構成すること。
• 初期データ超曲面上で分布関数を制約する積分方程式を導出し、それを解くこと。

提案手法

• 初期光円錐超曲面上での計量成分に追加の仮定を課すことにより、制約系を分離する。
• 調和座標系を用いて、アインシュタイン＝ヴラソフ系を非線形双曲型系に削減する。
• 制約解析に適した適切な未知数と変数を用いたEV系の新規定式化を導出する。
• 分布関数を空間的位置に依存する係数をもつ速度成分に関する2次多項式として表現する。
• 分布関数と基底関数との内積を含む積分方程式（IE）を導出し、係数に関する解ける代数方程式に帰着する。
• 明示的な球面積分の計算と代数的変形により、係数を計量およびストレステンソルデータの関数として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストレステンソルがすべての計量成分に依存する場合、レンダールの階層的アプローチを直接適用できないため、アインシュタイン＝ヴラソフ系の整合性のある初期データはどのように構成できるか？
• RQ2 特徴的初期値設定において制約問題を解けるようにするために、計量にどのような追加仮定が必要か？
• RQ3 分布関数を光円錐超曲面上で積分方程式によって制約することで、削減された系と整合性を保つにはどうすればよいか？
• RQ4 速度空間における分布関数と基底関数との内積計算から、どのような代数的構造が生じるか？
• RQ5 得られた方程式系は明示的に解けるか？初期データから分布関数を再構成できるか？

主な発見

• 分布関数は初期超曲面上で $\varphi(x,v) = \left[a(x)(1+v^2)v^3 + b(x)(1+v^2)v^4 + c(x)\right]^2$ の形に完全に決定され、ここで $a(x)$, $b(x)$, $c(x)$ は空間的位置の関数である。
• 係数 $a(x)$, $b(x)$, $c(x)$ は関係式 $a(x)c(x) = \frac{105h_1(x)}{64\pi}$ および $b(x)c(x) = \frac{105h_2(x)}{64\pi}$ によって制約され、これらはストレステンソルの成分と関連している。
• 積分方程式（IE）は代数方程式（D.28）に簡略化され、計量およびストレステンソルの成分から導かれる係数を用いて $h_1(x)$, $h_2(x)$, $c(x)$ を関連付ける。
• 明示的な球面積分が計算され、$\langle f^2, e \rangle = \frac{8\pi}{63}$, $\langle g^2, e \rangle = \frac{8\pi}{189}$, $\langle 1, e \rangle = \frac{4\pi}{15}$ および他の基底関数に対しても同様の結果が得られる。
• 分布関数の最終的な解は、(D.28) を解くことで得られ、これは $c(x)$ に関する4次方程式である。その後、(D.15) に示される関係式を用いて $a(x)$ および $b(x)$ を回復する。
• 本手法により、調和座標系における削減されたアインシュタイン＝ヴラソフ系の初期データの構成が可能となり、今後の研究でグローバル存在結果の道筋が開かれる。