[論文レビュー] The graded Lie algebra of general relativity

Michael Reiterer, Eugene Trubowitz|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、真空アインシュタイン方程式の解が、$[\gamma, \gamma] = 0$ を満たす次数1の要素として対応するgraded Lie代数の枠組みを構築する。Bianchi恒等式は自動的に満たされる。ゲージ固定アルゴリズムを導入し、線形化重力のコチェーン複体を対称双曲型波方程式の解へと簡約する。本稿は、ランク2の複素ベクトルバンドルと自己相容性リーマン＝カルタン幾何学を用いて、一般相対性理論の幾何的・代数的再定式化を提供する。

ABSTRACT

We construct a graded Lie algebra in which a solution to the vacuum Einstein equations is any element of degree 1 whose bracket with itself is zero. Each solution generates a cochain complex, whose first cohomology is linearized gravity about that solution. We gauge-fix to get a smaller cochain complex with the same cohomologies (deformation retraction). The new complex is much smaller, it consists of the solution spaces of linear homogeneous wave equations (symmetric hyperbolic equations). The algorithm that produces these gauges and wave equations is both for linearized gravity and the full Einstein equations. The gauge groupoid is the groupoid of rank 2 complex vector bundles.

研究の動機と目的

• graded Lie代数構造を用いた一般相対性理論の新しい代数的定式化を提供すること。
• 真空アインシュタイン解が、実graded Lie代数 $\mathcal{E}$ 内の次数1の要素 $\gamma$ で $[\gamma, \gamma] = 0$ を満たすものに一致することを示すこと。
• 各解からコチェーン複体を構成し、その1次コホモロジーが線形化重力を記述すること。
• ゲージ固定手順を導入し、コチェーン複体を線形同次波方程式の解へと簡約すること。
• ランク2の複素ベクトルバンドルと得られるgraded Lie代数の間の函手的対応関係を確立し、重力の幾何的再定式化を可能にすること。

提案手法

• ランク2の複素ベクトルバンドル $V$ 上のテンソル代数上の微分作用素の商として得られる、実graded Lie代数 $\mathcal{E} = \mathcal{L}/\mathcal{I}$ を構成する。
• gradedイデアル $\mathcal{I}$ を定義し、$\mathcal{I}^2$ がスピン2表現に対応するようにし、$\mathcal{I}^k$ が $\mathcal{I}^{k-1}$ と $V \otimes \overline{V}$ の実要素との外積で生成されることを保証する。
• 形式的指数関数を用いて、graded Lie代数構造を、$\gamma \in \mathcal{E}^1$ に対して $[\gamma, \gamma] = 0$ という条件を通じてアインシュタイン方程式に結びつける。
• ゲージ固定アルゴリズムを実装し、元のコチェーン複体から、より小さい複体への変形再び（deformation retraction）を誘導し、その結果は対称双曲型波方程式の解空間に同型である。
• 元の複体と簡約された複体のコホモロジーの間に自然な同型を確立し、物理的内容を保存すること。
• 非退化な $\gamma \in \mathcal{E}^1$ から、計量の符号が $(-,+,+,+)$ で、リッチ曲率が消えるレビチビータ接続を伴う、自己相容性リーマン＝カルタン幾何学を回復すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真空アインシュタイン方程式は、graded Lie代数における条件 $[\gamma, \gamma] = 0$ として再定式化可能か？
• RQ2 この代数的枠組み内において、線形化アインシュタイン方程式のコホモロジーは、幾何的にどのように記述可能か？
• RQ3 この定式化の背後にあるゲージ群層の構造は何か？ そして微分同相不変性とどのように関係するか？
• RQ4 線形化重力複体の複雑さを低下させる体系的なゲージ固定手順を構築可能か？
• RQ5 非退化な解 $\gamma \in \mathcal{E}^1$ から、自己相容性リーマン＝カルタン幾何学はどのように導かれるか？

主な発見

• 真空アインシュタイン方程式の解は、正確に $[\gamma, \gamma] = 0$ を満たす次数1の要素 $\gamma \in \mathcal{E}^1$ に一致し、graded Jacobi恒等式によりBianchi恒等式が自動的に成立することが保証される。
• 解 $\gamma$ のまわりの線形化重力複体のコホモロジーは、$\gamma$ から構成された関連コチェーン複体の1次コホモロジーと同型である。
• ゲージ固定アルゴリズムにより得られるより小さいコチェーン複体のコホモロジーは、元の複体と同型であり、変形再びを通じて保たれる。この新しい複体は、線形同次対称双曲型波方程式の解から構成される。
• ゲージ群層は、4次元基底多様体上のランク2の複素ベクトルバンドルのカテゴリであり、同型を射とする。この構成は開部分集合上で函手的である。
• 非退化な $\gamma \in \mathcal{E}^1$ に対して、写像 $h_\gamma$ は、符号 $(-,+,+,+)$ の計量と、ねじれのないアフィン接続を伴う自己相容性リーマン＝カルタン幾何学を誘導する。
• 誘導された接続のリーマン曲率はリッチトレースで消えることから、$[\gamma, \gamma] = 0$ のとき $\gamma$ が真空アインシュタイン方程式を満たすことが確認される。