[論文レビュー] The graphs with the max-Mader-flow-min-multiway-cut property

Guyslain Naves, Vincent Jost|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の独立した端末集合 $ \mathcal{S} $ および重み関数 $ w $ に対して、端末間の頂点に分けられたパスの最大重みパッキングとそれらを分離する最小重み頂点カットが等しくなるようなグラフ、すなわち Mader-Mengerian グラフを特徴づけている。禁止頂点マイナーの特徴づけと認識アルゴリズムを用いて、グラフが Mader-Mengerian であるための必要十分条件を示し、特定の最小の障害要因を除外することを示している。さらに、このようなグラフにおいて最大パスパッキングと最小マルチカットを多項式時間で計算するアルゴリズムを提供している。

ABSTRACT

We are given a graph $G$, an independant set $\mathcal{S} \subset V(G)$ of \emph{terminals}, and a function $w:V(G) o \mathbb{N}$. We want to know if the maximum $w$-packing of vertex-disjoint paths with extremities in $\mathcal{S}$ is equal to the minimum weight of a vertex-cut separating $\mathcal{S}$. We call \emph{Mader-Mengerian} the graphs with this property for each independant set $\mathcal{S}$ and each weight function $w$. We give a characterization of these graphs in term of forbidden minors, as well as a recognition algorithm and a simple algorithm to find maximum packing of paths and minimum multicuts in those graphs.

研究の動機と目的

• 任意の独立した端末集合 $ \mathcal{S} $ および重み関数 $ w $ に対して、頂点に分けられたパスの最大 $ w $-パッキングと最小 $ w $-重み頂点カットが等しくなるようなグラフを特徴づけること。
• システム (1) が TDI（完全双対的整数性）であるための構造的性質を同定すること。これは、最大パスパッキングと最小カットの等価性を保証する。
• Mader-Mengerian グラフを多項式時間で認識するアルゴリズムを提供すること。
• このようなグラフにおいて最大 $ w $-パッキングおよび最小 $ w $-カットを効率的に計算するアルゴリズムを開発すること。
• すべての端末集合 $ \mathcal{S} $ に対して TDI 性質が成り立つことは、$ |\mathcal{S}| = 3 $ の場合に限って確認すれば十分であることを示すこと。これにより検証が簡略化される。

提案手法

• システム (1) を用いて、$ w $-パッキングと $ \mathcal{S} $-パスを分離する $ w $-カットの間の重み付き最小最大双対性に基づき、Mader-Mengerian グラフの概念を導入する。
• 頂点の削除、縮約、および辺の縮約を組み合わせた新しい頂点マイナー操作を導入し、Mader-Mengerian グラフの禁止マイナー特徴づけを定義する。
• 完全双対的整数性（TDI）の理論を適用し、システム (1) が TDI であるための必要十分条件が、その定義する多面体が整数的であることであることを示す。
• 3色の奇サイクルに符号を付けて、各色に1つの端末を持つような符号付き頂点マイナーのクラス $ \overline{\mathcal{A}_3} $ を導入し、TDI 性の最小障害要因としての役割を果たす。
• グラフが Mader-Mengerian であるための必要十分条件が、$ \overline{\mathcal{A}_3} $ に属する符号付き頂点マイナーを含まないことであることを活用し、マイナー除外による認識が可能になる。
• 最小障害要因に基づく双対性の議論を用いて、任意の $ \mathcal{S} $ に対して TDI 性を確認する問題を、$ |\mathcal{S}| = 3 $ の場合に限定して確認する問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなグラフが、すべての独立した端末集合 $ \mathcal{S} $ および重み関数 $ w $ に対して、頂点に分けられた $ \mathcal{S} $-パスの最大 $ w $-パッキングと最小 $ w $-重み頂点カットの間で最小最大等式が成立するか？
• RQ2 Mader-Mengerian グラフを特徴づける禁止頂点マイナー障害要因の完全な集合は何か？
• RQ3 システム (1) の TDI 性は効率的に確認可能か？また、それは有限個の小さな端末構成に還元可能か？
• RQ4 Mader-Mengerian グラフを認識し、最大パスパッキングおよび最小マルチカットを計算する多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 アステロイダル・トリプルを含まないグラフは Mader-Mengerian グラフのクラスに属するか？もしそうならば、その要因となる構造的性質は何か？

主な発見

• グラフが Mader-Mengerian であるための必要十分条件は、$ \overline{\mathcal{A}_3} $、つまり各色に1つの端末を持つ3色の奇サイクルの符号付き頂点マイナーを含まないことである。
• システム (1) の TDI 性がすべての $ \mathcal{S} $ に対して成り立つための必要十分条件は、$ |\mathcal{S}| = 3 $ の場合に限って TDI 性が成り立つことである。これは検証を著しく簡略化する。
• 禁止マイナー特徴づけを用いて、Mader-Mengerian グラフを多項式時間で認識するアルゴリズムが存在する。
• Mader-Mengerian グラフにおいて、$ \mathcal{S} $-パスの最大 $ w $-パッキングと最小 $ w $-重み $ \mathcal{S} $-カットは、導出されたグラフにおける最大頂点容量フローを用いて多項式時間で計算可能である。
• Mader-Mengerian グラフのクラスには、すべてのアステロイダル・トリプルを含まないグラフが含まれており、非自明な構造的包含関係が確立されている。
• Mader-Mengerian グラフの頂点マイナー障害要因のリストは無限であるため、そのリストの明示的特徴づけは不可能であり、その複雑さを示している。