[論文レビュー] The gravitational content of lorentzian complex structures

Ch. Ragiadakos|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時空の計量ではなくローレンツ型複素構造に重力が符号化される、可重整化可能な4次元一般共変モデルを提案する。時空を $G_{2,2}$ グラスマン多様体内のcodimension-4 CR多様体として特定し、チェーン＝モーサーおよびカルタンの手法を用いることで、フェッファーマンに類似た計量が導かれ、$U(2)$境界における開いたCR多様体がポincare群の表現と結びつけられ、素粒子スペクトルの幾何的起源と、計量に依存しない量子重力フレームワークにおける正エネルギーの定義への道筋が示唆される。

ABSTRACT

The definition of a positive energy is investigated in a renormalizable 4-dimensional generally covariant model, which depends on the lorentzian complex structure and not the metric of spacetime. The gravitational content of the lorentzian complex structures is revealed by identifying the spacetime with special 4-dimensional surfaces of the G{2,2} Grassmannian manifold. The lorentzian complex structure is found to be a codimension-4 CR structure and its classification is studied using the Chern-Moser and Cartan methods. The spacetime metric is found to be a Fefferman-like metric of this codimension-4 CR structure. The open CR manifolds "hanging" from the points of the U(2) characteristic boundary of the SU(2,2) classical domain belong into representations of the Poincaré group and are related to the particle spectrum of the model.

研究の動機と目的

• 計量に依存しない可重整化可能な4次元一般共変モデルにおいて、時空計量の代わりにローレンツ型複素構造に基づいて正エネルギーを定義すること。
• 時空を $G_{2,2}$ グラスマン多様体内に埋め込み、4次元的表面としてのCR構造として特定することで、ローレンツ型複素構造の重力的性質を明らかにすること。
• チェーン＝モーサー正規形およびカルタン接続手法を用いて、ローレンツ型複素構造を分類すること。
• これらの複素構造から生じるcodimension-4 CR構造にフェッファーマンに類似た計量を確立すること。
• $SU(2,2)$古典的ドメインの $U(2)$境界における開いたCR多様体をポincare群の表現と結びつけることにより、幾何学と素粒子物理学を結びつけること。

提案手法

• モデルは、ローレンツ型複素構造 $J_{\mu}^\nu$ とゲージ場 $A_{j\mu}$ に依存するヤン＝ミルズ型作用 (1.1) を用い、ラグランジュ乗数 (1.6) を用いて計量に依存しないラグランジアンを強制する。
• 時空は $G_{2,2}$ グラスマン多様体内に4次元的表面として埋め込まれ、ヌルテトラッド形式 (1.2) と可積分性条件 (1.3) を用いてcodimension-4 CR構造として特定される。
• チェーン＝モーサー手法を用いて、ホロモーフィック変換の下で構造方程式を正規形に還元することで、ローレンツ型複素構造を分類する。
• カルタン接続手法を用いてCR構造の幾何学的性質を分析し、曲率と対称性の解析のための枠組みを提供する。
• CR多様体上にフェッファーマンに類似た計量 (5.11) が導かれ、実スライス $y^a = 0$ でミンコフスキー計量が回復され、幾何学と物理的時空が結びつけられる。
• $SU(2,2)$古典的ドメインの $U(2)$境界を用いて、点から「垂れ下がる」開いた表面が、同一直線の安定化部分群を介してポincare群の表現に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量に依存せず可重整化可能な4次元量子重力モデルにおいて、ローレンツ型複素構造に基づいて正エネルギーをどのように定義できるか？
• RQ2 チェーン＝モーサーおよびカルタンの微分幾何的道具を用いて、ローレンツ型複素構造の幾何学的・代数的分類はどのように行われるか？
• RQ3 時空計量は、複素構造から導かれるcodimension-4 CR構造上でのフェッファーマンに類似た計量としてどのように現れるか？
• RQ4 $SU(2,2)$古典的ドメインの $U(2)$境界は、ポincare対称性と素粒子の表現を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 $U(2)$境界における開いたCR多様体は、モデルにおける物理的素粒子スペクトルとどのように関係しているか？

主な発見

• ローレンツ型複素構造は、$G_{2,2}$ グラスマン多様体に埋め込まれたcodimension-4 CR構造として特定され、可積分性条件はスピン係数 $\kappa, \sigma, \lambda, \nu$ の消滅と等価である。
• 時空計量は、CR構造上にフェッファーマンに類似た計量として実現され、計量 (5.11) を通じて実スライス $y^a = 0$ でミンコフスキー計量が回復される。
• $SU(2,2)$古典的ドメインの $U(2)$特徴的境界は、ポincare群の表現に同型な開いたCR多様体を支持しており、$z=I$ 点の安定化部分群は $Poincar\acute{\text{e}}\times$ スケーリング群である。
• $SU(2,2)$対称性は、固定された $i^0$ 点を持つシロフ境界のミンコフスキー部分を真空ととるとき、ポincare対称性に自発的に破れることになる。
• $U(2)$群は、Poincaré表現を1つの境界点から別の点へ写像するグローバル対称性として作用し、安定化部分群の同型性を保つ。
• モデルは、ベクトル場およびスカラー場（ヒッグス場）が、ミンコフスキー型時空の $U(2)$ 対称性の破れモードから生じることを示唆しており、Kerr-Newman型のソリトン的領域は、標準模型の電子多重項に対応する可能性がある。