[論文レビュー] The Gromov-Hausdorff distance between ultrametric spaces: its structure and computation

Facundo Mémoli, Zane Smith+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2021

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ひとこと要約

本稿では、有限の超距離空間に特化した、Gromov-Hausdorff距離の新規な変種 $u_{\mathrm{GH}}$ を導入し、標準的な $d_{\mathrm{GH}}$ がNP困難であるにもかかわらず、多項式時間で計算可能であることを証明している。超距離空間の構造的性質を活用し、二重化定数に基づく固定パラメータ tractable（FPT）アルゴリズムを導入することで、$d_{\mathrm{GH}}$ の計算が可能なクラスを同定し、この問題に対する最初の正確なFPTアルゴリズムを提示している。

ABSTRACT

The Gromov-Hausdorff distance ($d_\mathrm{GH}$) provides a natural way of quantifying the dissimilarity between two given metric spaces. It is known that computing $d_\mathrm{GH}$ between two finite metric spaces is NP-hard, even in the case of finite ultrametric spaces which are highly structured metric spaces in the sense that they satisfy the so-called \emph{strong triangle inequality}. Ultrametric spaces naturally arise in many applications such as hierarchical clustering, phylogenetics, genomics, and even linguistics. By exploiting the special structures of ultrametric spaces, (1) we identify a one parameter family $\{d_\mathrm{GH}^{(p)}\}_{p\in[1,\infty]}$ of distances defined in a flavor similar to the Gromov-Hausdorff distance on the collection of finite ultrametric spaces, and in particular $d_\mathrm{GH}^{(1)} =d_\mathrm{GH}$. The extreme case when $p=\infty$, which we also denote by $u_\mathrm{GH}$, turns out to be an ultrametric on the collection of ultrametric spaces. Whereas for all $p\in[1,\infty)$, $d_\mathrm{GH}^{(p)}$ yields NP-hard problems, we prove that surprisingly $u_\mathrm{GH}$ can be computed in polynomial time. The proof is based on a structural theorem for $u_\mathrm{GH}$ established in this paper; (2) inspired by the structural theorem for $u_\mathrm{GH}$, and by carefully leveraging properties of ultrametric spaces, we also establish a structural theorem for $d_\mathrm{GH}$ when restricted to ultrametric spaces. This structural theorem allows us to identify special families of ultrametric spaces on which $d_\mathrm{GH}$ is computationally tractable. These families are determined by properties related to the doubling constant of metric space. Based on these families, we devise a fixed-parameter tractable (FPT) algorithm for computing the exact value of $d_\mathrm{GH}$ between ultrametric spaces. We believe ours is the first such algorithm to be identified.

研究の動機と目的

• 有限の距離空間間のGromov-Hausdorff距離の計算がNP困難であるという問題に取り組むこと、特に系統発生学や階層的クラスタリングで一般的な超距離空間の文脈において。
• 超距離空間上でのGromov-Hausdorff距離の変種が、多項式時間で計算可能かどうかを調査すること。
• 標準的なGromov-Hausdorff距離が計算的に扱いやすい超距離空間の部分集合を同定すること。
• 二重化定数の構造的性質を利用した、超距離空間間の $d_{\mathrm{GH}}$ の正確な計算のための固定パラメータ tractable（FPT）アルゴリズムの開発。

提案手法

• 有限の超距離空間上で定義される一パラメータ族の距離 $\{d_{\mathrm{GH}}^{(p)}\}_{p\in[1,\infty]}$ を導入し、$d_{\mathrm{GH}}^{(1)} = d_{\mathrm{GH}}$ であり、$p=\infty$ の場合を $u_{\mathrm{GH}}$ と表記する。
• $u_{\mathrm{GH}}$ が超距離空間としての性質を持ち、超距離空間に特有の構造定理を用いて多項式時間で計算可能であることを証明する。
• 超距離空間に制限した $d_{\mathrm{GH}}$ に対して構造定理を確立し、より小さなインスタンスへの再帰的還元を可能にする。
• 二重化定数が有界で、歪みが制御された超距離空間のクラス $\mathcal{U}_2(\varepsilon, \gamma)$ を定義し、パラメータ化された複雑性解析を可能にする。
• 時間計算量 $O(n^2 \log^3 n \cdot 2^{2\gamma} (2\gamma)^{2\gamma+2})$ の固定パラメータ tractable（FPT）アルゴリズムを設計し、$d_{\mathrm{GH}}(X,Y)$ を計算する。ここで $\gamma$ は二重化定数に関連するパラメータである。
• 順序付き距離レベル上で二分探索と対応関係に基づく技術を用い、2つの超距離空間間に $\varepsilon$-対応が存在する最小の $\varepsilon$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な $d_{\mathrm{GH}}$ がNP困難であるにもかかわらず、有限の超距離空間上でのGromov-Hausdorff距離の変種が多項式時間で計算可能かどうか。
• RQ2 標準的なGromov-Hausdorff距離が計算的に扱いやすい超距離空間の部分集合が存在するか。
• RQ3 超距離空間のどの構造的性質が $d_{\mathrm{GH}}$ の効率的計算を可能にするか。
• RQ4 超距離空間の二重化定数をパラメータとして用いることで、$d_{\mathrm{GH}}$ の固定パラメータ tractable（FPT）アルゴリズムを設計可能か。
• RQ5 Gromov-Hausdorff距離と超距離構造との関係、特に球の包含関係と同値類の観点から、どのような関係があるか。

主な発見

• $p=\infty$ のGromov-Hausdorff距離の変種、$u_{\mathrm{GH}}$ はコンパクトな超距離空間の空間上で超距離であり、多項式時間で計算可能である。
• 標準的なGromov-Hausdorff距離 $d_{\mathrm{GH}}$ は、有限の超距離空間に対してもNP困難に計算可能であることが、Schmiedl（2010）によって確立されている。
• $u_{\mathrm{GH}}$ に対して構造定理を確立し、距離計算を超距離空間上のより小さな部分問題に再帰的に還元可能である。
• 二重化定数 $K$ と歪み $\delta$ が有界な超距離空間に対して、球内の異なる $\varepsilon$-同値類の数は、$K^{\log_2((2\delta + 4\varepsilon)/s) + 1}$ で抑えられる。ここで $s$ は分離定数である。
• 時間計算量 $O(n^2 \log^3 n \cdot 2^{2\gamma} (2\gamma)^{2\gamma+2})$ の固定パラメータ tractable（FPT）アルゴリズムを設計し、$d_{\mathrm{GH}}(X,Y)$ を計算可能である。ここで $\gamma$ は二重化定数に関連するパラメータである。
• アルゴリズムは距離レベルにおける二分探索と対応関係のチェックを用い、構造的分解により問題をより小さなインスタンスに還元する。これは、超距離空間上での正確な $d_{\mathrm{GH}}$ のFPTアルゴリズムとして、初めて知られている。