[論文レビュー] The Grothendieck group of algebraic stacks

Torsten Ekedahl|ArXiv.org|Mar 18, 2009

Commutative Algebra and Its Applications被引用数 48

ひとこと要約

この論文は、アフィン安定化群をもつ代数的スタックのグローテンディーク群を導入し、それが多様体のグローテンディーク群の局域化と同型であることを示している。コhomology with compact support を用いてオイラー特徴量をスタックへ拡張し、特に特徴値 0 の場合に、オイラー特徴量が一致する場合でもクラスを区別できる不変量を構成している。主な結果として、完成化された局域化された多様体グローテンディーク環における PSLₙ- torsor のクラスは、底面と PSLₙ のクラスの積に等しくないことが示され、自明な乗法性が成り立たないことが反証された。

ABSTRACT

We introduce a Grothendieck group of algebraic stacks (with affine stabilisers) analogous to the Grothendieck group of algebraic varieties. We then identify it with a certain localisation of the Grothendieck group of algebraic varieties. Several invariants of elements in this group are discussed. The most important is an extension of the Euler characteristic (of cohomology with compact support) but in characteristic zero we introduce invariants which are able to distinguish between classes with the same Euler characteristic. These invariants are actually defined on the completed localised Grothendieck ring of varieties used in motivic integration. In particular we show that there are $\PSL_n$-torsors of varieties whose class in the completed localised Grothendieck ring of varieties is not the product of the class of the base and the class of $\PSL_n$.

研究の動機と目的

• アフィン安定化群をもつ代数的スタックのグローテンディーク群を定義し、標準的な多様体グローテンディーク群に類似した形で定義すること。
• このスタックグローテンディーク群と多様体グローテンディーク群の局域化との間に同型を確立すること。
• 完成化されたモチーフ的環の局所化を用いて、コホモロジーとコンパクトな補題を用いたオイラー特徴量を代数的スタックへ拡張すること。
• 特徴値 0 の場合に、同じオイラー特徴量を持つスタッククラスを区別できる不変量を構成すること。
• モチーフ的環における PSLₙ-torsor のクラスが、底面と PSLₙ のクラスの積に等しくないことを示し、自明な乗法性の不成立を示すこと。

提案手法

• 体 $ \mathbf{k} $ 上の代数的スタックのグローテンディーク群 $ K_0(\mathrm{Stck}_{\mathbf{k}}) $ を定義し、スシッター関係によるスタックの類の類別を用いる。
• $ K_0(\mathrm{Stck}_{\mathbf{k}}) $ が多様体のグローテンディーク群 $ K_0(\mathrm{Spc}_{\mathbf{k}}) $ の局域化と同型であることを示す。
• クラス写像と混合ガロア表現のグローテンディーク環または混合ホッジ構造の完成化を合成することで、スタックに対するオイラー特徴量を構成する。
• 多項式的成長を示す要素の部分環に強い位相を導入し、有限体上でのフロベニウストレースの連続性と定義の明確さを保証する。
• 完成化された環上でのフロベニウストレースを用いて、それがスタックの点数を計算することを示し、モチーフ的および算術的不変量を結びつける。
• プーンエンらの不変量を完成化された環に適用し、オイラー特徴量だけでは区別できない非自明なクラスを検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン安定化群をもつ代数的スタックのグローテンディーク群は、局域化とモチーフ的点数の数え上げを可能にする形で定義可能か？
• RQ2 コンパクトな補題を伴うオイラー特徴量は、代数的スタックへ自然に拡張可能であり、そのコホモロジー的不変量との関係は何か？
• RQ3 特徴値 0 の場合に、同じオイラー特徴量を持つスタッククラスを区別できる不変量は存在するか？
• RQ4 モチーフ的環における $ \mathrm{PSL}_n $-torsor のクラスは、底面と $ \mathrm{PSL}_n $ のクラスの積に等しいか？
• RQ5 スタックのグローテンディーク環を用いて、モチーフ的点数の数え上げを正当化でき、点数の算術的データを回復できるか？

主な発見

• アフィン安定化群をもつ代数的スタックのグローテンディーク群は、多様体のグローテンディーク群の局域化と同型である。
• コンパクトな補題を伴うオイラー特徴量はスタックへ拡張可能であり、ラズロとオルソンの定義と一致する。
• 有限体上では、完成化されたモチーフ的環上のフロベニウストレースがスタックの点数を計算する。
• 特徴値 0 の場合、プーンエンらの不変量が完成化された環へ拡張され、オイラー特徴量だけでは区別できないクラスを検出できる。
• 完成化された局域化された多様体グローテンディーク環における $ \mathrm{PSL}_n $-torsor のクラスは、底面と $ \mathrm{PSL}_n $ のクラスの積に等しくない。これは乗法性の不成立を示している。
• 次数 3 の極性をもつ滑らかでコンパクトな genus 1 曲線のモジュライスタックのクラスは $ \mathbb{L} $ に等しく、これは点をマークした曲線のスタックとの比較によって計算された。