[論文レビュー] The Grothendieck Inequality Revisited

Ron C. Blei|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 37被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、l²(A) から L²(Ω_A, ℙ_A) への非線形で連続な写像 Φ を構成することにより、古典的グローテンディーク不等式を連続的設定に拡張する。このとき内積 ⟨x,y⟩ が Φ(x)Φ(ȳ) の ℙ_A に関する積分に等しくなるようにし、Φ は L∞-ノルムで有界である。この結果、多重線形パーセバル類似公式が確立され、ヒルベルト空間上での射影的連続な多重線形汎関数が積分表現によって特徴づけられ、グローテンディーク型不等式が高次元および位相的領域へ一般化される。

ABSTRACT

The classical Grothendieck inequality is viewed as a statement about representations of functions of two variables over discrete domains by integrals of two-fold products of functions of one variable. An analogous statement is proved, concerning continuous functions of two variables over general topological domains. The main result is a construction of a continuous map $Φ$ from $l^2(A)$ into $L^2(Ω_A, P_A)$, where $A$ is a set, $Ω_A = {-1,1}^A$, and $P_A$ is the uniform probability measure on $Ω_A$, such that $$\sum_{α\in A} x(α) \bar{y}(α)} = \int_{Ω_A} Φ(x)Φ(\bar{y})dP_A, x \in l^2(A), y \in l^2(A),$$ and $$ |Φ(x)|_{L^{\infty}} \leq K |x|_2, x \in l^2(A),$$ for an absolute constant $K > 1$. ($Φ$ is non-linear, and does not commute with complex conjugation.) The bilinear Parseval-like formula above is obtained by iterating the usual Parseval formula in a framework of harmonic analysis on dyadic groups. A modified construction implies a similar integral representation of the dual action between $l^p$ and $l^q$, \ $1/p + 1/q= 1$. Parseval-like formulas are derived in higher dimensions. These variants involve representations of functions of $n$ variables in terms of functions of $k$ variables, $0 < k < n$. Multilinear extensions of the Grothendieck inequality are obtained, and are used to characterize the feasibility of integral representations of multilinear functionals on a Hilbert space.

研究の動機と目的

• 離散的状況から連続的位相的領域へ、積分表現を用いて古典的グローテンディーク不等式を一般化すること。
• 内積を積分により保存する非線形写像 Φ: l²(A) → L²(Ω_A, ℙ_A) を構築し、パーセバル類似恒等式を満たすこと。
• ヒルベルト空間上での射影的有界かつ連続な多重線形汎関数を、積空間上のカーネル測度を用いて特徴づけること。
• 分数的カルテシアン積と被覆列を用いて、グローテンディーク不等式の多重線形拡張を導出すること。
• 多重線形関数解析における射影的有界性と連続性の関係を調査すること。

提案手法

• ダイアディック群上の調和解析を用い、古典的パーセバル公式の繰り返し適用により非線形写像 Φ を構成する。
• ラデマッハおよびウォルシュ関数を用いて、カントール群 Ω_A = {−1,1}^A 上の関数を表現し、ウォルシュ級数を用いて Φ を定義する。
• リエス積を用いて測度論的収束と L² および L∞ ノルムにおける Φ の連続性を保証する。
• 射影的有界性および連続性の基準を適用し、積空間上の積分核を用いて多重線形汎関数を特徴づける。
• 2次形式の恒等式 ∑x(α)ȳ(α) = ∫Φ(x)Φ(ȳ) dℙ_A を n 次形式へ一般化することで、多重線形パーセバル類似公式を導出する。
• 分数的カルテシアン積と被覆列 (S₁,…,Sₙ) を導入し、多重線形汎関数をモデル化し、作用素ノルムの上界を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的グローテンディーク不等式は、積分表現を用いて一般位相的領域上の連続関数へ拡張可能だろうか？
• RQ2 内積 ⟨x,y⟩ が Φ(x)Φ(ȳ) の ℙ_A に関する積分に等しくなるような、非線形で連続な写像 Φ: l²(A) → L²(Ω_A, ℙ_A) が存在するだろうか？
• RQ3 ヒルベルト空間上での多重線形汎関数について、射影的有界性と射影的連続性の関係は何か？
• RQ4 被覆列および分数的カルテシアン積を用いて、グローテンディーク型不等式はどのように高次元多重線形形式へ一般化されるだろうか？
• RQ5 多重線形汎関数のカーネルは、カントール群上の複素測度のフーリエ変換として表現可能だろうか？そしてこれは射影的有界性を示唆するだろうか？

主な発見

• 任意の x,y ∈ l²(A) に対して ⟨x,y⟩ = ∫Φ(x)Φ(ȳ) dℙ_A を満たす連続的かつ非線形な写像 Φ: l²(A) → L²(Ω_A, ℙ_A) が存在し、パーセバル類似恒等式を満たす。
• 写像 Φ は、絶対定数 K > 1 を用いて ‖Φ(x)‖_{L∞} ≤ K‖x‖₂ を満たし、本質的上界ノルムで有界であることが保証される。
• 構成法により、n 重線形汎関数に対する多重線形パーセバル類似公式が得られ、2次形式のケースから高次元へ拡張される。
• ヒルベルト空間上での射影的連続な多重線形汎関数は、カントール群 Ω_A^n 上の代表測度の存在によって特徴づけられる。
• 被覆列に対するグローテンディーク定数は、指数関数的に増大するが、最良の上界は O(K^{kn}) であり、サイズ k と n 部分の被覆列に対して成立する。
• 位相的空間に対して G₂(X×Y) = ˜V₂(X×Y) が成り立つことが示され、連続的設定における精緻化されたグローテンディーク定理の可能性を示唆するが、定数 K_GC(X×Y) の正確な役割は未解決のままである。