[論文レビュー] The Ground State Energy and density of Interacting Bosons in a Trap

Elliott H. Lieb, Robert Seiringer+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 1999

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、希釈で相互作用するボーズ粒子系がトラップに閉じ込められた場合、グロス＝ピタエフスキー（GP）方程式がその基底状態の平均場近似として正当化されることを厳密に確立している。粒子数密度と散乱長の積 $Na$ を固定するスケーリング極限を用い、熱力学的極限において、量子力学的基底状態エネルギーおよび1体密度がGP機能が予測する値に収束することを証明した。これにより、希釈ボーズ＝アインシュタイン凝縮に対するGP方程式の物理的妥当性が裏付けられた。

ABSTRACT

In the theoretical description of recent experiments with dilute Bose gases confined in external potentials the Gross-Pitaevskii equation plays an important role. Its status as an approximation for the quantum mechanical many-body ground state problem has recently been rigorously clarified. A summary of this work is presented here.

研究の動機と目的

• トラップ内の相互作用ボソン系の多体量子ハミルトニアンの平均場極限として、グロス＝ピタエフスキー（GP）方程式を厳密に正当化すること。
• 希釈極限において、量子力学的基底状態エネルギーおよび1体密度がGP予測に収束することを確立すること。
• 収束が、相互作用ポテンシャルの詳細な形に依存せず、散乱長 $a$ および積 $Na$ のみに依存することを示すこと。
• 最近の希釈ボーズ＝アインシュタイン凝縮実験をGP方程式の観点から解釈するための数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 短距離で非負の2体ポテンシャル $v(r)$ を持つ外部トラップ内に存在する $N$ 個の相互作用ボソンの多体ハミルトニアンを定式化する。
• GPエネルギー関数 $\mathcal{E}^{\rm GP}[\Phi]$ 及びその最小化関数 $\Phi^{\rm GP}$ を定義し、$\int |\Phi|^2 = N$ の正規化条件下で非線形GP方程式を解く。
• スケーリング不変性を用いて $E^{\rm GP}(N,a) = N E^{\rm GP}(1, Na)$ を示し、$Na$ が希釈極限における主要パラメータであることを明確にする。
• 有限サイズ効果を制御するため、周期的境界条件を課した大きなボックス $\Lambda_R$ を導入し、$R \to \infty$ のとき、ボックス内基底状態エネルギー $E^{\rm QM}_R(N,a)$ が $E^{\rm QM}(N,a)$ に収束することを証明する。
• テスト波動関数を用いた下界と化学ポテンシャルの上界を導出し、境界効果を制御する。
• 小さなボックスへの分割を用いて密度ゆらぎを制御し、量子エネルギーをGP関数で近似する際の誤差が $O(N^{-1/10})$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $Na$ における希釈極限で、多体量子ハミルトニアンの基底状態エネルギーがGPエネルギーに収束するか？
• RQ2 固定された $Na$ で $N \to \infty$ のとき、1体量子密度 $\rho^{\rm QM}(\vec{x})$ が弱収束して $|\Phi^{\rm GP}(\vec{x})|^2$ に近づくか？
• RQ3 収束が、相互作用ポテンシャルの詳細な形に依存せず、散乱長 $a$ のみに依存するか？
• RQ4 GP方程式が、閉じ込められたボソン系の完全な量子多体問題の平均場極限として、厳密に導出可能か？

主な発見

• 固定された $Na$ で $N \to \infty$ の極限において、量子力学的基底状態エネルギー $E^{\rm QM}(N,a)$ がGPエネルギー $E^{\rm GP}(N,a)$ に収束する。すなわち、$\lim_{N\to\infty} E^{\rm QM}(N,a)/E^{\rm GP}(N,a) = 1$ が成り立つ。
• 固定された $Na$ で $N \to \infty$ のとき、1体量子密度 $\rho^{\rm QM}(\vec{x})/N$ が $L^1$ で弱収束して $|\Phi^{\rm GP}_{1,Na}(\vec{x})|^2$ に近づく。
• エネルギーおよび密度の収束は、散乱長 $a$ および積 $Na$ のみに依存し、相互作用ポテンシャル $v(r)$ の詳細には依存しない。
• ボックス分割を用いた場合、量子エネルギーをGP関数で近似する際の誤差は $O(N^{-1/10})$ で有界である。ただしボックスサイズは $L \sim N^{-1/10}$ とすること。
• 有限ボックス $\Lambda_R$ 内の基底状態エネルギーは、$R \geq R_0$ に対して $E^{\rm QM}_R(N,a) \geq E^{\rm QM}(N,a)$ を満たし、$R_0$ は $Na$ のみに依存する。これによりボックス近似の有効性が保証される。
• 結果として、GP方程式が希釈ボーズ系のトラップ内記述において物理的に妥当であることが確認され、ボーズ＝アインシュタイン凝縮に関する最近の実験を解釈するための厳密な基盤が提供された。