[論文レビュー] The Ground State Energy of a Dilute Two-dimensional Bose Gas

Elliott H. Lieb, Jakob Yngvason|ArXiv.org|Feb 6, 2000

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、希釈2次元ボーズ系の基底状態エネルギーの主要項を厳密に導出し、エネルギー1粒子あたりが $ E_0/N = (2\pi\hbar^2\rho/m)|\ln(\rho a^2)|^{-1} $ に比例することを証明している。相対誤差は $ O(|\ln(\rho a^2)|^{-1/5}) $ で有界である。この結果は、散乱長の対数発散性に起因する2次元における非自明な量子多体異常を解消し、3次元とは対照的に、エネルギーが2体相互作用に線形に比例しないことに対応している。

ABSTRACT

The ground state energy per particle of a dilute, homogeneous, two-dimensional Bose gas, in the thermodynamic limit is shown rigorously to be $E_0/N = (2π\hbar^2ρ/m){|\ln (ρa^2)|^{-1}}$, to leading order, with a relative error at most ${ m O} (|\ln (ρa^2)|^{-1/5})$. Here $N$ is the number of particles, $ρ=N/V$ is the particle density and $a$ is the scattering length of the two-body potential. We assume that the two-body potential is short range and nonnegative. The amusing feature of this result is that, in contrast to the three-dimensional case, the energy, $E_0$ is not simply $N(N-1)/2$ times the energy of two particles in a large box of volume (area, really) $V$. It is much larger.

研究の動機と目的

• 希釈2次元ボーズ系の熱力学的極限における基底状態エネルギーの主要項漸近形を厳密に確立すること。
• 3次元とは異なり、基底状態エネルギーが $ N(N-1)/2 $ 倍の2体エネルギーに比例しないという2次元における非自明な量子多体異常を解明すること。
• DysonおよびLieb-Yngvasonの手法の修正版を用いて、誤差項を制御した上界および下界を提供すること。
• 3次元から2次元への希釈ボーズ系の厳密な解析を拡張し、散乱長と粒子密度の対数依存性に対処すること。
• 非負で有限範囲の2体ポテンシャルに対して2次元散乱長を定義・正当化し、数学的整合性を保証すること。

提案手法

• 2次元における対数的挙動を考慮した、修正版Dysonの補題を用いた、試行波動関数を構築することで、Dysonの方法を上界の評価に適応する。
• 球対称な試行関数 $ f_0(r) $ を用いた変分原理を適用し、ハードコア境界条件を課した2体シュレーディンガー方程式から導出する。
• 亜調和性の議論と比較定理を用いて、径方向シュレーディンガー方程式の解を評価し、$ r $ が大きいとき $ f_0(r) \leq (1+\varepsilon)f_0^{\text{asymp}}(r) $ を保証する。
• 無限範囲のポテンシャルに対して、極限手続きを用いて2次元散乱長 $ a $ を定義し、$ v(r) $ の可積分性条件下で収束を保証する。
• 3次元のLieb-Yngvason下界技術を修正し、散乱長の対数依存性を組み込み、径方向比較関数 $ g = f_0 - \tilde{f}_0 $ を用いる。
• 極座標における径方向積分不等式を用い、ポテンシャルの非負性および試行関数の亜調和性を活用してエネルギーの境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 希釈2次元ボーズ系の基底状態エネルギー1粒子あたりの正しい主要項漸近形は何か？
• RQ2 なぜ2次元ではエネルギーが3次元とは異なり $ N(N-1)/2 $ 倍の2体エネルギーに比例しないのか。その物理的起源は何か？
• RQ3 非負で有限範囲の2体ポテンシャルに対して、2次元における基底状態エネルギーの厳密な上界および下界を導出可能か？
• RQ4 長距離または無限範囲のポテンシャルに対して、2次元散乱長はどのように定義され、特徴づけられるべきか？
• RQ5 漸近エネルギー式の最良誤差境界は何か。かつての非厳密な導出と比較するとどうなるか？

主な発見

• 基底状態エネルギー1粒子あたりが、希釈極限において $ E_0/N = (2\pi\hbar^2\rho/m)|\ln(\rho a^2)|^{-1} $ に比例することが厳密に示された。
• 上界の相対誤差は $ O(|\ln(\rho a^2)|^{-1}) $ のオーダーであり、以前の非厳密な導出と整合的である。
• 下界の相対誤差は $ O(|\ln(\rho a^2)|^{-1/5}) $ のオーダーであり、この手法で現在達成可能な最良の結果である。
• 2次元におけるエネルギーの非摂動的性質が確認された：散乱長の対数発散性に起因し、エネルギーは単純な2体和よりも著しく大きい。
• 非負で可積分なポテンシャルに対し、カットオフ半径の極限手続きを用いることで、2次元での散乱長は無限範囲でも適切に定義可能である。
• この結果は、熱力学的極限が2体寄与の単純な和をもたらさない2次元量子多体理論における長年の異常を解消した。