[論文レビュー] The group aspect in the physical interpretation of general relativity theory

S. Antoci, Dierck‐Ekkehard Liebscher|ArXiv.org|Oct 12, 2009

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における群論の物理的意義を再評価し、一般座標変換の群が物理的に無関係であると主張する。なぜなら、任意の理論が一般共変に書けるからである。代わりに、計量の無限小等長変換によって生成されるキリング群—すなわち、時空の「相対性原理」を決定づける物理的に意味のある群—を同定する。主な貢献は、リーマン不変量が有限のままでも、キリングベクトルの曲率ノルムの発散から内在的な幾何学的特異点が生じ得ることを示したことである。このことは、カー＝ニューマン解において実証された。

ABSTRACT

When, at the end of the year 1915, both Einstein and Hilbert arrived at what were named the field equations of general relativity, both of them thought that their fundamental achievement entailed, inter alia, the realisation of a theory of gravitation whose underlying group was the group of general coordinate transformations. This group theoretical property was believed by Einstein to be a relevant one from a physical standpoint, because the general coordinates allowed to introduce reference frames not limited to the inertial reference frames that can be associated with the Minkowski coordinate systems, whose transformation group was perceived to be restricted to the Poincaré group. Two years later, however, Kretschmann published a paper in which the physical relevance of the group theoretical achievement in the general relativity of 1915 was denied. For Kretschmann, since any theory, whatever its physical content, can be rewritten in a generally covariant form, the group of general coordinate transformations is physically irrelevant. This is not the case, however, for the group of the infinitesimal motions that bring the metric field in itself, namely, for the Killing group. This group is physically characteristic of any given spacetime theory, since it accounts for the local invariance properties of the considered manifold, i.e., for its ``relativity postulate''. In the present chapter it is shown what are the consequences for the physical interpretation of some of these solutions whose relativity postulate is of intermediate content, when Kretschmann's standpoint is consistently adhered to.

研究の動機と目的

• 一般座標不変性からキリング群への焦点の移行によって、一般相対性理論の物理的解釈を再表現すること。
• 一般共変性が物理的に空虚であるというクレツシュマンの反論を解消するため、キリング群を物理的対称性の真の担い手として特定すること。
• リーマンテンソルの不変量が有限のままでも、キリングベクトル場の振る舞いから特異点が生じ得ることを示すこと。
• キリング群が非自明な解（例：カー＝ニューマン）では、その等長群の構造に結びついた内在的な幾何的特徴が現れることを示すこと。

提案手法

• 時空多様体の等長群を特徴付けるために、無限小キリングベクトルという数学的道具を用いる。
• 計量テンソルの対称性を定義するために、キリング方程式 $\xi^{i;k} + \xi^{k;i} = 0$ を適用する。
• キリング束の第一曲率の二乗ノルムを分析する。式 $\alpha^2 = -g_{ij}a^i a^j$ において、$a^i = \frac{\xi^i}{N}_{;k}\frac{\xi^k}{N}$ である。
• ボイヤー＝リンダスト座標系におけるカー＝ニューマン計量において、$r = r_0 = M + \sqrt{M^2 - J^2 - Q^2}$ の近傍で $\alpha^2$ の振る舞いを評価する。
• キリング群の次元と構造を分析することで、異なる時空における相対性原理の物理的内容を比較する。
• キリングベクトルから導かれる不変幾何的量を用いて、多項式リーマン不変量とは独立した特異点検出を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般共変性の役割を果たす一般座標変換の群が、なぜ物理的に無関係であるのか？
• RQ2 キリング群は、時空理論における真の物理的相対性原理の担い手としてどのように機能するのか？
• RQ3 リーマンテンソルの不変量が有限のままでも、キリングベクトル場の振る舞いから内在的な幾何学的特異点が生じ得るのか？
• RQ4 カー＝ニューマン時空において、キリング束の第一曲率のノルムの発散が物理的に何を意味するのか？
• RQ5 キリング群の構造は、アインシュタイン場方程式の解の物理的解釈にどのように影響を与えるのか？

主な発見

• 一般座標変換の群は物理的に無関係である。なぜなら、任意の理論が一般共変形式に書き換え可能であるため、物理的原理として不十分である。
• キリング群—計量の無限小等長変換によって生成される群—が物理的に意味のある対称性群である。なぜなら、それが時空の「相対性原理」を符号化しているからである。
• カー＝ニューマン解において、特定のキリング束の第一曲率のノルムが $r = r_0 = M + \sqrt{M^2 - J^2 - Q^2}$ で発散し、内在的な幾何学的特異点を示している。
• この特異点は不変かつ内在的である。なぜなら、キリングベクトル場の振る舞いに起因し、リーマンテンソルの多項式不変量には反映されないからである。
• カー＝ニューマンのような解に非自明なキリング群が存在する場合、キリングベクトル場の振る舞いに起因する物理的特徴（例：束の加速度の発散）が、曲率スカラーだけでは捉えきれない。
• 異なるキリング群を持つ時空を貼り合わせると、リーマン不変量が有限のままでも境界で幾何的量が発散し得る。これは、曲率特異点とは独立した滑らかさの破綻を示している。