[論文レビュー] The group of automorphisms of the algebra of one-sided inverses of a polynomial algebra

V. V. Bavula|ArXiv.org|Mar 17, 2009

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$n$ 個の変数の多項式代数に片側逆元を添加して得られる代数 $\sigma_n$ のすべての自己同型の群を特定する。自己同型群 $G_n$ は、$S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes \mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$ の半直積として表され、その内部自己同型には $\mathrm{GL}_\infty(K)^{2^n-1}$ のコピーが含まれており、ジャコビアン予想に類似したグローバルな行列式写像が導入される。

ABSTRACT

The algebra $\mS_n$ in the title is obtained from a polynomial algebra $P_n$ in $n$ variables by adding commuting, {\em left} (but not two-sided) inverses of the canonical generators of $P_n$. Ignoring non-Noetherian property, the algebra $\mS_n$ belongs to a family of algebras like the Weyl algebra $A_n$ and the polynomial algebra $P_{2n}$. The group of automorphisms $G_n$ of the algebra $\mS_n$ is found: $$ G_n=S_n\ltimes \mT^n\ltimes \Inn (\mS_n) \supseteq S_n\ltimes \mT^n\ltimes \underbrace{\GL_\infty (K)\ltimes... \ltimes \GL_\infty (K)}_{2^n-1 { m times}}=:G_n' $$ where $S_n$ is the symmetric group, $\mT^n$ is the $n$-dimensional torus, $\Inn (\mS_n)$ is the group of inner automorphisms of $\mS_n$ (which is huge), and $\GL_\infty (K)$ is the group of invertible infinite dimensional matrices. This result may help in understanding of the structure of the groups of automorphisms of the Weyl algebra $A_n$ and the polynomial algebra $P_{2n}$. An analog of the {\em Jacobian homomorphism}: $\Aut_{K-{ m alg}}(P_{2n}) a K^*$, so-called, the {\em global determinant} is introduced for the group $G_n'$ (notice that the algebra $\mS_n$ is {\em noncommutative} and neither left nor right Noetherian).

研究の動機と目的

• 多項式代数 $P_n$ に片側逆元を添加して得られる代数 $\mathbb{S}_n$ の完全な自己同型群を特定すること。
• $\mathrm{Aut}_{K\text{-alg}}(\mathbb{S}_n)$ の構造を理解すること、特にその非ネーター的かつ非整域的性質に注目すること。
• 非ネーター的性質を有するにもかかわらず、$\mathbb{S}_n$ に対してジャコビアン写像に類似した同型写像を構成すること。
• 自己同型群の作用下での $\mathbb{S}_n$ の素イデアルおよびイデアルポテンシャルイデアルの安定化部分群を分析すること。
• 内部自己同型の役割と、それらが $\mathbb{S}_n$ 内の無限次元一般線形群とどのように関係するかを明確にすること。

提案手法

• 代数 $\mathbb{S}_n$ は、生成子 $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$ と関係式 $y_ix_i = 1$、および他のすべての交換関係が 0 であるものとして定義される。
• 自己同型群 $G_n$ は、$S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes \mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$ として分解され、$S_n$ は変数を置換し、$\mathbb{T}^n$ はそれらをスケーリングする。
• 内部自己同型は、$\sigma_p(y_i) = y_i + p_i E_{00}(i)$ の形の自己準同型を用いて構成され、$p_i$ に課される条件によって交換性が保証される。
• グローバルな行列式写像が、$G_n$ の部分群 $G_n'$ 上に導入され、非ネーター的代数へのジャコビアン行列式の概念の拡張がなされる。
• 素イデアルおよびイデアルポテンシャルイデアルの安定化部分群の構造は、$\mathbb{S}_n$ の素スペクトルへの自己同型の作用を用いて分析される。
• 論文は、$\mathbb{S}_n$ を $V^{\otimes n}$ 上の自己準同型としてのテンソル積表現を用いて、シフト作用素を介して自己同型を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式代数 $P_n$ の片側逆元の代数である $\mathbb{S}_n$ の自己同型群 $\mathrm{Aut}_{K\text{-alg}}(\mathbb{S}_n)$ の完全な構造は何か？
• RQ2 $\mathbb{S}_n$ が非ネーター的であるにもかかわらず、$A_n$（ウェイラー代数）および $P_{2n}$（多項式代数）の自己同型群と比較して、$\mathbb{S}_n$ の自己同型群はどのように異なるか？
• RQ3 $\mathbb{S}_n$ が非整域的かつ非ネーター的であるにもかかわらず、ジャコビアン型の写像を定義できるか？
• RQ4 内部自己同型は $\mathrm{Aut}_{K\text{-alg}}(\mathbb{S}_n)$ において果たす役割は何か？また、それらは無限次元一般線形群とどのように関係するか？
• RQ5 自己同型は $\mathbb{S}_n$ の素イデアルおよびイデアルポテンシャルイデアルにどのように作用するか？また、これらのイデアルの安定化部分群は何か？

主な発見

• 代数 $\mathbb{S}_n$ の自己同型群 $G_n$ は、$S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes \mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$ に同型であり、$\mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$ には $\mathrm{GL}_\infty(K)^{2^n - 1}$ に同型な部分群が含まれる。
• 代数 $\mathbb{S}_n$ は左でも右でもネーター的ではなく、整域でもないため、$P_{2n}$ や $A_n$ とは異なり、クルール次元およびゲルファンド＝キリロフ次元が同じであっても区別される。
• グローバルな行列式写像が、部分群 $G_n' = S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes (\mathrm{GL}_\infty(K)^{2^n - 1})$ 上に定義され、ジャコビアン写像に類似した役割を果たす。
• 自己準同型のモノイド $\mathrm{st}(x_1,\dots,x_n)$ は、$p_i \in K[x_1,\dots,x_n]$ であるような写像 $\sigma_p$ から成り、アーベル群ではあるが、条件 (64) を満たさない限り自己同型ではない。
• 素イデアルおよびイデアルポテンシャルイデアルの安定化部分群が分析され、自己同型群の作用によって特定のイデアル構造が保存されることを示している。
• 論文は、$\mathrm{st}(x_1,\dots,x_n) \supsetneq \prod_{i=1}^n \mathrm{st}(x_i)$ を確立し、自己準同型のモノイドが、1変数自己準同型モノイドの積よりも厳密に大きいことを示している。