[論文レビュー] The group of inertial automorphisms of an abelian group

Ulderico Dardano, Silvana Rinauro|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アーベル群 A の慣性自己同型のなす群 IAut(A) を調査し、それがメタアーベル的（locally finite）であることを示している。ここで、Γ は IAut(A) のメタアーベル的正規部分群であり、IAut(A)/Γ は局所有限であり、Γ′ はすべての部分群が Γ で正規であるアーベル的周期的部分群である。A が周期的であるとき、IAut(A) はアーベル的（locally finite）であるが、一般には (locally nilpotent)-by-(locally finite) ではない。反例として、A = ℤ(p∞) ⊕ ℚp を用いて示されている。

ABSTRACT

We study the group $IAut(A)$ generated by the inertial automorphisms of an abelian group $A$, that is, automorphisms $γ$ with the property that each subgroup $H$ of $A$ has finite index in the subgroup generated by $H$ and $Hγ$. Clearly, $IAut(A)$ contains the group $FAut(A)$ of finitary automorphisms of $A$, which is known to be locally finite. In a previous paper, we showed that $IAut(A)$ is (locally finite)-by-abelian. In this paper, we show that $IAut(A)$ is also metabelian-by-(locally finite). In particular, $IAut(A)$ has a normal subgroup $Γ$ such that $IAut(A)/Γ$ is locally finite and $Γ'$ is an abelian periodic subgroup whose all subgroups are normal in $Γ$. In the case when $A$ is periodic, $IAut(A)$ results to be abelian-by-(locally finite) indeed, while in the general case it is not even (locally nilpotent)-by-(locally finite). Moreover, we provide further details about the structure of $IAut(A)$ in some other cases for $A$.

研究の動機と目的

• IAut(A)、つまりアーベル群 A の慣性自己同型によって生成される群の構造を同定すること。
• FAut(A) の「局所有限的アーベル的」性質に触発された、IAut(A) がアーベル的（locally finite）であるかどうかを特定すること。
• 安定性部分群と共役作用の役割を、IAut(A) の正規部分群構造を理解するために分析すること。
• A が周期的であるか、特定のねじれ自由ランクを持つ場合など、特別なケースにおける IAut(A) の詳細な構造的記述を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、任意の部分群 H に対して (H + Hγ)/H が有限であるという条件を満たす慣性的自己準同型の概念を用いる。
• IAut(A) を、γ₁ と γ₂ が慣性的自己同型であるときの積 γ₁γ₂⁻¹ によって生成される群として分析する。
• IAut(A) の中で、IAut(A)/Γ が局所有限であり、Γ′ がすべての部分群が Γ で正規であるアーベル的周期的部分群であるようなメタアーベル的正規部分群 Γ を構成する。
• A をねじれ部、可除部、ねじれ自由部に分解し、主成分および部分群への作用を通じて自己同型を研究する。
• 共役作用を分析し、交換子を計算するために、A ⋊ Aut(A) のホロモル群を用いる。
• 特に、有限的および慣性的自己同型の間の相互作用に注目して、KI群および局所有限群の理論からの結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のアーベル群 A に対して、IAut(A) はアーベル的（locally finite）であるか？
• RQ2 A が周期的アーベル群であるとき、IAut(A) の構造はいかなるものか？
• RQ3 IAut(A) は (locally nilpotent)-by-(locally finite) であるか、あるいは反例はあるか？
• RQ4 慣性的自己同型は、ねじれ部分群 T(A) および可除部分群 D(A) にどのように作用するか？
• RQ5 安定性部分群は、特に有限的自己同型と関連して、IAut(A) の構造において果たす役割は何か？

主な発見

• IAut(A) はメタアーベル的（locally finite）である。正規部分群 Γ が存在し、IAut(A)/Γ は局所有限であり、Γ′ はすべての部分群が Γ で正規であるアーベル的周期的部分群である。
• A が周期的であるとき、IAut(A) はアーベル的（locally finite）である。これは、この場合における主な問いへの肯定的解答を示している。
• A = ℤ(p∞) ⊕ ℚp の場合、IAut(A) は (locally nilpotent)-by-(locally finite) ではない。これは、一般の問いに対する否定的解答を示している。
• IAut₁(A) は非常に大きくなる可能性があり、一部のケースでは IAut₁(A)/FAut(A) は濃度 2^ℵ₀ の可除的ねじれなしアーベル群である。
• r₀(A) = 1 かつすべての素数 p に対して Aₚ ≅ ℤ(p) であるようなアーベル群 A が存在し、IAut(A) = IAut₁(A) × {±1} であり、IAut₁(A) = Σ · FAut(A) かつ Σ ≅ ∏ₚ ℤ(p) である。
• この場合、IAut₁(A) のすべての元は T(A) 上で有限的自己同型を誘導する。また、Σ ∩ FAut(A) = T(Σ) であるため、Σ は FAut(A) に含まれない。