[論文レビュー] The growth of the $\frac{1}{16}$-BPS index in 4d $\mathcal{N}=4$ SYM

Sameer Murthy|arXiv (Cornell University)|May 21, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、$N = 2$ から $10$ までの $4$次元 $υ=4$ $U(N)$ 超ヤン・ミルズ理論における $1/16$-BPS 指数を数値的に計算し、大スピン漸近的挙動が、双対な AdS$_5 \times S^5$ 理論における超対称ブラックホールのエントロピーから予想されるカードイ型成長と一致することを示している。$2(N+1)$ 未満のスピンに対して、指数が正確にマルチグラビトン指数と一致することを証明しており、弱い結合定数におけるグラビトン状態と強い結合定数におけるブラックホールエントロピーとの間の滑らかな補間を確認している。

ABSTRACT

We study the Hamiltonian index of $\frac{1}{16}$-BPS operators in 4d $\mathcal{N}=4$ U(N) super Yang-Mills (SYM) theory numerically for $N=2\,,\dots,10$. We show that the large-charge asymptotics agree with analytic results in the Cardy-like limit, as consistent with the entropy of supersymmetric black hole in the dual AdS. The numerics also agree with the large-N analytic result, thus providing hints towards an exact formula for the index. We then prove, using ideas from representation theory, that for values of charges (quantized in integer units) less than 2(N+1) the index agrees precisely with the multi-graviton index, and then begins to deviate for larger charges. Thus the U(N) SYM index interpolates between multi-graviton values at small charge and black hole growth at large charges.

研究の動機と目的

• AdS/CFT 対応における超対称ブラックホールのエントロピーと整合する、$υ=4$ $U(N)$ SYM理論における $1/16$-BPS 指数の予想される大スピン漸近的挙動が成立するかを検証すること。
• ブラックホールに類似したエントロピー成長の始まりを示す、指数がマルチグラビトン指数から逸脱する領域を特定すること。
• 大-$N$ 解析的結果のカーディ型極限における指数の漸近的挙動を、数値的証拠で支持すること。
• 表現論を用いて、マルチグラビトン領域とブラックホール領域との間の明確な転移点を確立すること。

提案手法

• 指数関数 $\mathcal{I}_N(\mathrm{x})$ から導かれる行列積分公式を用いて、$N = 2$ から $10$ までの一連の $U(N)$ における超共形指数 $d_N(n)$ を数値的に計算する。
• 表現論的アプローチを用いて、スピン $n < 2(N+1)$ の範囲で指数がマルチグラビトン指数と正確に一致することを証明する。
• 大スピン漸近的公式 $s(j) \sim \frac{\pi}{2 \cdot 3^{1/6}} j^{2/3}$（$j = n/N^2$）と数値的指数値を比較し、ブラックホールエントロピーとの整合性を検証する。
• $U(N)$ ユニタリ行列のトレースを含む超共形指数の公式の適用：$\mathcal{I}_N(\mathrm{x}) = \int DU \, \exp\left(\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j} i_s(\mathrm{x}^j) \mathrm{Tr}\, U^j \mathrm{Tr}\, (U^\dagger)^j \right)$。
• $n$ を $85$ までに制限して、$d_N(n)$ とグラビトン指数 $d_{\text{grav}}(n)$ を比較し、$n = 2(N+1)$ を超えた以降の逸脱を特定する。
• $\mathcal{N}=1$ 言語を用いて、$n = 3(2J + Q)$ として保存スピン $n$ を定義し、正の整数として離散化することで、体系的な数値的および解析的取り扱いを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大スピン・大$N$極限において、$\mathcal{N}=4$ $U(N)$ SYM理論における $1/16$-BPS 指数は、超対称ブラックホールのエントロピーと整合する指数的成長を示すか？
• RQ2 指数がマルチグラビトン指数から逸脱し始めるスピン値は何か？ これはブラックホールに類似した挙動の始まりを示唆する。
• RQ3 表現論を用いて、ある閾値未満のスピンにおいて、SYM 指数とマルチグラビトン指数との正確な一致を証明できるか？
• RQ4 有限な $N$ における数値的結果は、大$N$ 極限における指数の漸近的成長の解析的予測とどの程度一致するか？

主な発見

• スピン $n < 2(N+1)$ の範囲では、表現論を用いて、$U(N)$ SYM 指数がマルチグラビトン指数と正確に一致することが証明された。
• $n = 2(N+1)$ を超えると、指数はマルチグラビトン値から逸脱し始め、ブラックホールに類似したエントロピー成長の始まりを示している。
• $N = 2$ から $10$ までの数値的結果から、指数の大きなスピンにおける漸近的挙動が、カードイ型の公式 $s(j) \sim \frac{\pi}{2 \cdot 3^{1/6}} j^{2/3}$ と一致しており、双対な AdS$_5 \times S^5$ 理論におけるブラックホールエントロピーと整合している。
• 大$N$極限において、$\frac{1}{N^2} \log d_N(n)$ は $j = n/N^2$ を用いてブラックホールエントロピー関数 $s(j)$ に収束し、AdS/CFT の期待と一致している。
• 指数は、低スピンにおけるマルチグラビトン領域と高スピンにおけるブラックホール領域との間で滑らかに補間されており、AdS/CFT 対応が要請する通りの挙動を示している。
• 表2は、$n=85$ までにわたる $d_N(n)$ の明示的な数値と、$d_{\text{grav}}(n)$ からの逸脱を示しており、理論的予測と体系的に一致している。