[論文レビュー] The Grushin plane and quasiconformal Jacobians

William Meyerson|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、グリューシュイン平面からユークリッド平面への準等角写像を構成し、準等角写像の幾何的媒介としてグリューシュイン計量を一般化する。任意の $\beta \in (-2, 0]$ に対して、$\mathbb{R}^2$ から高次元ユークリッド空間への準対称写像が存在し、そのヤコビアンが $|x|^\beta$ と比較可能であることを証明し、平面における非可積分重みに対する準等角ヤコビアン問題を解決する。

ABSTRACT

We construct a quasiconformal map from the Grushin plane to the Euclidean plane. Then, we generalize the Grushin plane slightly and explain how the Grushin plane can serve as an intermediary in dealing with quasiconformal maps on Euclidean spaces. In particular, we construct a family of quasiconformal embeddings of the Euclidean plane into larger Euclidean spaces whose Jacobians fail to be locally integrable on a line.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間間の準等角写像のための幾何的媒介としてグリューシュイン平面を確立すること。
• 特に $|x|^\beta$（$\beta \in (-2, -1]$）に対して、平面における非局所可積分重みに対する準等角ヤコビアン問題を解決すること。
• 局所可積分ヤコビアンを持つ準等角写像の既知の結果を、特異重みの状況に拡張すること。
• 任意の $\beta \in (-2, 0]$ に対して、ヤコビアンが $|x|^\beta$ と比較可能な準対称写像の存在を示すこと、非可積分ケースを含むこと。
• 特に特異重みの下で、絶対連続性の直線（ACL）条件が準等角ヤコビアンに果たす役割を調査すること。

提案手法

• リーマン計量 $ds^2 = dx^2 + x^{-2}dy^2$ を持つ $\mathbb{R}^2 \setminus \{x=0\}$ の距離の完備化としてグリューシュイン平面 $G_\alpha$ を定義し、カルノー＝カラテオドリ距離を備える。
• 写像 $F(x,y) = (x|x|, y)$ を用いて $G \to \mathbb{R}^2$ への準等角写像 $F$ を構成し、弱い準対称性と距離比較を用いてそれが準対称であることを証明する。
• 計量 $ds^2 = dx^2 + |x|^{-\alpha}dy^2$ を持つ一般化されたグリューシュイン平面 $G_\alpha$ を定義し、写像 $F_\alpha(x,y) = (x|x|^{\alpha/2}, y)$ を用いて $\mathbb{R}^2$ への準等角写像を定義する。
• 十分大きな $n_\alpha$ に対して、定理1.1 [9] によって保証されるように、$\phi_\alpha: G_\alpha \to \mathbb{R}^{n_\alpha}$ を双リプシッツ埋め込みとする。
• 写像 $H_\alpha = \phi_\alpha \circ F_\alpha^{-1}$ を合成し、$\mathbb{R}^2$ から $\mathbb{R}^{n_\alpha}$ への準対称写像を構成し、ヤコビアンが $|x|^{-2\alpha/(2+\alpha)}$ と比較可能であることを得る。
• $\alpha = -2\beta/(2+\beta)$ とおくことで、$\beta \in (-2, 0]$ の場合にヤコビアンが $|x|^\beta$ と比較可能な写像が得られ、構成が完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グリューシュイン平面は、特異ヤコビアンを持つユークリッド空間間の準等角写像を構成するための幾何的媒介として機能できるか？
• RQ2 $\beta \in (-2, 0]$ の場合、ほとんど everywhere でヤコビアンが $|x|^\beta$ と比較可能な準対称写像 $\Phi_\beta: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^N$ が存在するか？
• RQ3 ヤコビアンが $|x|^{-t}$（$t \geq 2$）と振る舞うような、非局所可積分ヤコビアンを持つ準等角写像が存在するための条件は何か？
• RQ4 このような準等角写像において ACL 条件は必要か、それとも非 ACL の写像でも特異ヤコビアンを達成できるか？
• RQ5 非局所可積分な重み、例えば $|x|^{-2}$ に対して、準等角ヤコビアン問題は解けるか？

主な発見

• 写像 $F(x,y) = (x|x|, y)$ はグリューシュイン平面 $G$ から $\mathbb{R}^2$ への準対称写像であり、準等角同値性を確立する。
• 任意の $\alpha > 0$ に対して、一般化されたグリューシュイン平面 $G_\alpha$ は、ヤコビアンの振る舞いが $|x|^{\alpha/2}$ に従う、$\mathbb{R}^2$ への準対称写像 $F_\alpha(x,y) = (x|x|^{\alpha/2}, y)$ を持つ。
• 合成写像 $H_\alpha = \phi_\alpha \circ F_\alpha^{-1}$ は、$\mathbb{R}^2$ から $\mathbb{R}^{n_\alpha}$ への準対称写像をもたらし、ヤコビアンが $|x|^{-2\alpha/(2+\alpha)}$ と比較可能である。
• 任意の $\beta \in (-2, 0]$ に対して、$\alpha = -2\beta/(2+\beta)$ とおくことで、ヤコビアンがほとんど everywhere で $|x|^\beta$ と比較可能な準対称写像 $\Phi\_\beta = H_\alpha$ が得られる。
• この構成により、非局所可積分ヤコビアン（例：$|x|^{-2}$）を持つ準等角写像が、直線に沿った絶対連続性を満たさなくても存在しうることを示しており、$\mathbb{R}^3$ に非 ACL の準等角写像が存在することを裏付ける。
• 結果として、$\beta \in (-2, 0]$ の場合、$\mathbb{R}^2$ における準等角ヤコビアン問題の特徴付けが完全に達成され、残る未解決問題は $\beta \leq -2$ の場合に限られる。