[論文レビュー] The $H^{\infty}$-Functional Calculus and Square Function Estimates

N. J. Kalton, Lutz Weis|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2014

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 14被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間値関数に対する一般化された $\gamma$-ノルム平方関数フレームワークを導入し、$R$-有界性と平方関数推定を用いた $H^\infty$-関数計算の特徴付けを可能にする。有限型のバナッハ空間上の $C_0$-群がストライプ上に $H^\infty$-計算を持つための必要十分条件は、ある $a>0$ に対して $e^{-a|s|}T_s$ が $R$-有界であることである。同様に、放物型作用素が $H^\infty$-計算を持つための必要十分条件は、その虚数力が $R$-有界であることである。

ABSTRACT

Using notions from the geometry of Banach spaces we introduce square functions $γ(Ω,X)$ for functions with values in an arbitrary Banach space $X$. We show that they have very convenient function space properties comparable to the Bochner norm of $L_2(Ω,H)$ for a Hilbert space $H$. In particular all bounded operators $T$ on $H$ can be extended to $γ(Ω,X)$ for all Banach spaces $X$. Our main applications are characterizations of the $H^{\infty}$--calculus that extend known results for $L_p$--spaces from \cite{CowlingDoustMcIntoshYagi}. With these square function estimates we show, e. g., that a $c_0$--group of operators $T_s$ on a Banach space with finite cotype has an $H^{\infty}$--calculus on a strip if and only if $e^{-a|s|}T_s$ is $R$--bounded for some $a > 0$. Similarly, a sectorial operator $A$ has an $H^{\infty}$--calculus on a sector if and only if $A$ has $R$--bounded imaginary powers. We also consider vector valued Paley--Littlewood $g$--functions on $UMD$--spaces.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間および $L_p$ 空間を超えて、幾何学的関数解析を用いて一般バナッハ空間への $H^\infty$-関数計算の特徴付けを拡張すること。
• 一般バナッハ空間における順序構造の欠如を補うために、ガウス確率的級数と $\gamma$-ノルムに基づく新しい平方関数フレームワークを導入すること。
• 有限型バナッハ空間における $C_0$-群および放物型作用素の $H^\infty$-計算の存在を特徴付ける $R$-有界性条件を確立すること。
• UMD 空間およびバナッハラティス上でのベクトル値設定への古典的 Paley–Littlewood $g$-関数推定の一般化。
• $H^\infty$-計算、有界な解析的半群、および解離作用素と虚数力の $R$-有界性の関係を明確にすること。

提案手法

• ヒルバート空間の $L_2(\Omega,H)$ のボホルンノルムを置き換えるために、ガウス確率的級数と $\gamma$-ノルムを用いた新しい平方関数空間 $\gamma(\Omega,X)$ を導入する。
• $R$-有界性（ガウス平均の文脈における $R$-有界性と同値）を、作用素の拡張と関数計算の特徴付けの主要ツールとして用いる。
• 複素補間および拡張技術を用いて、$L_p(\Omega)$ 上の半群を、UMD 空間 $X$ に対する $L_p(\Omega,X)$ に拡張し、有界な解析性と正の性質を保つ。
• 有限型空間上での $C_0$-群に対して、$H^\infty$-計算と $e^{-a|s|}T_s$ の $R$-有界性の同値性を確立する。
• 放物型作用素の対数を用いて、$A$ と $\log A$ のスペクトル的性質を関連させ、群理論と放物型作用素理論を結びつける。
• ベクトル値乗数定理と補間理論を用いて、ヒルバート空間から UMD およびバナッハラティス設定への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限型バナッハ空間上の $C_0$-群が垂直ストライプ上に $H^\infty$-関数計算を持つための条件は何か？
• RQ2 UMD 空間 $X$ に対して、古典的 Paley–Littlewood $g$-関数推定は、ベクトル値 $L_p(\Omega,X)$ 空間に一般化可能か？
• RQ3 $A^{it}$, $t\in[-1,1]$ の $R$-有界性は、放物型作用素 $A$ が $H^\infty$-関数計算を持つために十分か？
• RQ4 一般バナッハ空間では $H^\infty$-計算の角度が放物型の角度と一致するか、それともヒルバート空間でのみ成立するか？
• RQ5 $X=[X_0,H]_\theta$ である複素補間空間 $X$ に対して、$L_p(\Omega,H)$ から $L_p(\Omega,X)$ への $H^\infty$-関数計算の拡張は、複素補間により可能か？

主な発見

• 有限型バナッハ空間上での $C_0$-群 $T_s$ がストライプ上に $H^\infty$-計算を持つための必要十分条件は、ある $a > 0$ に対して $\{e^{-a|s|}T_s : s \in \mathbb{R}\}$ が $R$-有界であることである。
• 放物型作用素 $A$ が領域上に $H^\infty$-計算を持つための必要十分条件は、$A$ が $R$-有界な虚数力を持つことである。
• 有限型空間上での放物型作用素 $A$ に対して、$\{A^{it} : t \in [-1,1]\}$ の $R$-有界性は、$A$ が $H^\infty$-計算を持つことを示唆する。
• $H^\infty$-計算の角度 $\omega_{H^\infty}(A)$ は、ほぼ $R$-放物型の角度と一致し、自然な計算フレームワークを提供する。
• $X$ が $X_0$ が UMD で $H$ がヒルバート空間である複素補間空間 $[X_0,H]_\theta$ であるとき、$L_p(\Omega,X)$ 上の作用素 $\mathbf{A}^\otimes$ は $\sigma < \pi/2$ の $H^\infty(\Sigma(\sigma))$-計算を持つ。ここで $A$ は $L_p(\Omega)$ 上に有界な解析的で正の合同な半群を生成する。
• 結果は、UMD を持つバナッハラティスに対しても拡張可能であり、この場合、Paley–Littlewood推定は古典的形式を取り、$L_p(\Omega,X)$ 上の分数乗 $\mathbf{(A^\alpha)}^\otimes$ に対しても $H^\infty$-計算が成立する。