[論文レビュー] The $h$-principle and the equations of fluid dynamics

Camillo De Lellis, László Székelyhidi|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|Nov 11, 2011

Navier-Stokes equation solutions被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、微分位相幾何学におけるトポロジカルな原理であるh-原理が、流体力学における非圧縮性および圧縮性のEuler方程式に適用可能であることを確立し、凸結合法を用いて、奇妙な振動を示す無限個の弱解を構成可能であることを示している。主な貢献は、Gromovのh-原理を凸結合法および下位解を用いて流体方程式に適応することで、初期データがゼロであっても弱解の非一意性を示したことにある。

ABSTRACT

In this note we survey some recent results for the Euler equations in compressible and incompressible fluid dynamics. The main point of all these theorems is the surprising fact that a suitable variant of Gromov's $h$-principle holds in several cases.

研究の動機と目的

• 微分位相幾何学で通常用いられるh-原理が、Euler系のような流体力学方程式に適用可能であることを示すこと。
• 凸結合法および下位解を用いて、非圧縮性Euler方程式の弱解の非一意性を説明すること。
• これらの結果を圧縮性Euler方程式に拡張し、一般の場合の未解決問題を特定すること。
• 弱解、乱流、および無限粘性法やエネルギー散逸に基づく選択原理との関係を調査すること。
• Hölder連続な弱解を構成する可能性を検討し、統計的乱流モデルに与える影響を考察すること。

提案手法

• Euler方程式を微分包含として定式化することで、Gromovのh-原理を流体力学に適応する。
• 高周波数の振動を繰り返し加えることで、分布的意味での方程式を満たす弱解を凸結合法で構成する。
• 下位解を、Euler系の弱解にレイノルズ応力項を加えたものとして定義し、エネルギー制約の緩和を可能にする。
• 非圧縮性および圧縮性Euler方程式の両方にこの手法を適用し、圧縮性の場合には状態空間における一般化された物性関係集合を必要とする。
• 存在する下位解を決定するために、許容状態の集合の凸包の概念を用いる。
• 無限粘性を伴うナビエ–ストークス方程式からEuler方程式への回復列の概念を導入し、確率的摂動を含む可能性も検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 h-原理は非圧縮性Euler方程式に適用可能であり、弱解の非一意性を説明できるか？
• RQ2 凸結合法によって構成された弱解の最適なHölder正則性は何か？ また、Onsagerの予想とどのように関係するか？
• RQ3 凸結合法を修正することで、Euler方程式のHölder連続な弱解を構成可能か？
• RQ4 Euler系において、奇妙な初期データに対する最大散逸率は何か？ また、散逸に基づく選択原理は存在するか？
• RQ5 圧縮性Euler方程式において、密度および速度の両方に奇妙な振動を含む解を構成するには、凸結合法をどのように拡張できるか？

主な発見

• 任意の次元 $ n \geq 2 $ において、初期データがゼロであっても、コンパクトに台を持つ非圧縮性Euler方程式の弱解が無限個存在する。 これは $ L^\infty \cap L^2 $ においても成り立つ。
• 下位解に凸結合法を適用することで、固定された運動エネルギーおよび圧力を持つ弱解を構成可能であり、これにより圧縮性の場合への移行が可能になる。
• 圧縮性Euler方程式において、密度および速度の両方に奇妙な振動を含む一般ケースは未解決のままだが、制限された物性関係集合を用いた進展が得られている。
• 臨界的Hölder指数 $ \alpha = 1/3 $ がエネルギー保存と非保存の境界を示すと予想されているが、この指数より上では一意性は不明である。
• 高次元の余次元においては、凸結合法で構成された解の正則性を任意の $ \alpha < 1 $ まで向上させることができ、これは余次元と正則性の間のトレードオフを示唆している。
• ナビエ–ストークス方程式からEuler方程式への弱解の回復列は、確率的摂動を含まない限り、決定論的極限ではこのような解を回復できないと予想される。