[論文レビュー] The Haagerup property is not invariant under quasi-isometry

Mathieu Carette, Whyte, Kevin+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般化された Baumslag-Solitar 群とホロノミー写像を用いた具体的な反例を構成することで、有限生成群においてハーガップ性と弱アーベル性が準同型不変量でないことを示している。ワイツとコーニュリエール＝ヴァレットによるホロノミー写像と準同型構成を用い、準同型な群のペアのうち、一方はハーガップ性と弱アーベル性を満たし、他方は両方を満たさないことを示しており、幾何学的群論における未解決問題を解決している。

ABSTRACT

Using the work of Cornulier-Valette and Whyte, we show that neither the Haagerup property nor weak amenability is invariant under quasi-isometry of finitely generated groups.

研究の動機と目的

• 有限生成群においてハーガップ性と弱アーベル性が準同型写像で保存されるかどうかを特定すること。
• [CTV07] で提起された、これらの性質の準同型不変性に関する未解決問題を解消すること。
• 準同型不変量としての等変 $L^p$-圧縮性への分析を拡張すること。
• 片方がハーガップ性と弱アーベル性を満たし、もう片方が満たさないような、準同型な群の明示的例を構成すること。

提案手法

• 一般化された Baumslag-Solitar 群 (GBS$_n$) を $\mathbb{Z}^n$ のグラフの基本群として用いる。
• ハーガップ性と弱アーベル性を特徴付けるためにホロノミー写像 $\operatorname{hol}: \Gamma \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ を用いる。
• ホロノミー像のハウスドルフ同値性に基づいて、ワイツによる GBS$_n$ 群の準同型分類を適用する。
• 自由群間のリプシッツ定数が1の双対写像 $\eta: F_2 \to F_3$ を用いて、群拡大間のファイバーを保存する準同型写像を構成する。
• コーニュリエール＝ヴァレットの結果を活用し、ホロノミー閉包の観点からハーガップ性と弱アーベル性を扱う。
• 等変写像を $L^p$-空間へ用い、$\alpha_p^\sharp(G) = \sup \operatorname{comp}_p(f)$ の定義を用いて $L^p$-圧縮性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群においてハーガップ性は準同型写像で不変か？
• RQ2 弱アーベル性は準同型写像で保存されるか？
• RQ3 等変 $L^p$-圧縮性の消滅（$\alpha_p^\sharp = 0$）は準同型写像で不変か？
• RQ4 準同型な群は、ハーガップ性または弱アーベル性の性質で異なることがあるか？
• RQ5 GBS$_n$ 群において、ホロノミー写像はこれらの性質を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• ハーガップ性と弱アーベル性は、片方が両方を満たし、もう片方が両方を満たさないような、準同型な有限生成群のペアを構成することで、準同型不変量でないことが示された。
• $1 \leq p \leq 2$ に対して、ハーガップ群 $\Gamma$ に対して $\alpha_p^\sharp(\Gamma) = \frac{1}{p}$ であり、非ハーガップ群 $\Lambda$ に対して $\alpha_p^\sharp(\Lambda) = 0$ である。
• 反例は、自由群間のリプシッツ定数が1の写像を用いて構成された $\mathbb{R}^2 \rtimes F_2$ と $\mathbb{R}^2 \rtimes F_3$ 間の準同型写像に依存している。
• 2つの群のホロノミー像はハウスドルフ同値であり、ワイツの準同型写像基準を満たしているが、ハーガップ性と弱アーベル性の性質は異なる。
• $L^p$-圧縮性の消滅は準同型不変量ではない。なぜなら、準同型な群間で $\alpha_p^\sharp$ が異なるからである。
• 結果は、単調で、コンパクト生成で、局所コンパクトな群へ拡張され、$\mathbb{R}^2 \rtimes F_2$ と $\mathbb{R}^2 \rtimes F_3$ が準同型であるが、ハーガップ性と弱アーベル性で異なることが示された。