[論文レビュー] The Haagerup property is stable under graph products

Yago Antolín, Dennis Dreesen|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、自由積および直積の一般化であるグラフ積において、Haagerup性が保存されることを確立する。等変および非等変 $L_p$-圧縮に関する定量的評価を提示し、頂点群の漸近次元に基づいてグラフ積の漸近次元に対する上界を証明する。これは、右側アングル・コクセター群に対するDrainishnikovの結果を一般化する。

ABSTRACT

The Haagerup property, which is a strong converse of Kazhdan's property $(T)$, has translations and applications in various fields of mathematics such as representation theory, harmonic analysis, operator K-theory and so on. Moreover, this group property implies the Baum-Connes conjecture and related Novikov conjecture. The Haagerup property is not preserved under arbitrary group extensions and amalgamated free products over infinite groups, but it is preserved under wreath products and amalgamated free products over finite groups. In this paper, we show that it is also preserved under graph products. We moreover give bounds on the equivariant and non-equivariant $L_p$-compressions of a graph product in terms of the corresponding compressions of the vertex groups. Finally, we give an upper bound on the asymptotic dimension in terms of the asymptotic dimensions of the vertex groups. This generalizes a result from Dranishnikov on the asymptotic dimension of right-angled Coxeter groups.

研究の動機と目的

• グラフ積、自由積および直積の自然な一般化であるものとして、Haagerup性が保存されるかどうかを特定すること。
• グラフ積におけるHaagerup性を、等変および非等変 $L_p$-圧縮の境界を用いて定量的に評価すること。
• 右側アングル・コクセター群に対するDranishnikovの漸近次元の境界を、任意のグラフ積へ一般化すること。
• グラフ積の漸近次元とその頂点群の漸近次元との関係を確立すること。

提案手法

• 定義グラフの頂点数に関する帰納法を用いて、グラフ積の漸近次元を評価する。
• グラフ積の構造を用いて、結合自由積および直積に関する既知の漸近次元の境界を適用する。
• $L_p$-圧縮は、$L_p$-空間への粗い埋め込みを通じて分析され、等変および非等変の場合に注目する。
• グラフ積の完全部分グラフ（クリーク）に関連する部分群への分解を証明で活用する。
• 有限頂点群を扱うために、$\max(1, \operatorname{adim}G_v)$ を定義し、境界が鋭いまま保たれることを保証する。
• 漸近次元が結合積および直積において部分加法的であるという事実を用い、再帰的に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Haagerup性は、自由積および直積の自然な一般化であるグラフ積において保存されるか？
• RQ2 グラフ積の $L_p$-圧縮は、その頂点群の $L_p$-圧縮の関数として境界づけられるか？
• RQ3 グラフ積の漸近次元は、その頂点群の漸近次元とどのように関係するか？
• RQ4 右側アングル・コクセター群に対する漸近次元の境界は、一般のグラフ積へ拡張可能か？
• RQ5 有限頂点群は、グラフ積の漸近次元および圧縮境界にどのように影響するか？

主な発見

• Haagerup性はグラフ積において安定であり、質問1.1に対して肯定的であると結論づけた。
• グラフ積の等変 $L_p$-圧縮は、頂点群の対応する圧縮の最小値によって下から抑えられる。
• グラフ積の非等変 $L_p$-圧縮は、頂点群の圧縮の最小値によって下から抑えられる。
• グラフ積 $G = \Gamma\mathfrak{G}$ の漸近次元は、$\operatorname{adim}G \leq \max_{C \in \mathcal{C}} \sum_{v \in C} \max(1, \operatorname{adim}G_v)$ を満たす。ここで $\mathcal{C}$ は定義グラフ内のクリークの集合である。
• 境界は鋭い。例として、$n$ 個の無限大ダイヘドラ群と $m$ 個の $\mathbb{Z}$ の積を考えると、$\operatorname{adim}G = m+n$ となる。
• Dranishnikovの右側アングル・コクセター群に対する境界は、任意の有限生成頂点群をもつ任意のグラフ積へ一般化された。