[論文レビュー] The Haldane model and its localization dichotomy

Giovanna Marcelli, Domenico Monaco+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2019

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ハルデーン模型を教育的フレームワークとして用い、ギャップのある周期的量子系における局在化二分法を確立する。時間反転対称性が成り立つ場合にはWannier関数は指数的局在化するが、そうでない場合には |x|² の期待値が発散するため、中間的状態は存在しない。主な貢献は、この二分法を非周期的系へ拡張し、十分に局在化した一般化Wannier基底がゼロとなるチャーンマーカーを意味することを示し、ホール輸送を禁じる。

ABSTRACT

Gapped periodic quantum systems exhibit an interesting Localization Dichotomy, which emerges when one looks at the localization of the optimally localized Wannier functions associated to the Bloch bands below the gap. As recently proved, either these Wannier functions are exponentially localized, as it happens whenever the Hamiltonian operator is time-reversal symmetric, or they are delocalized in the sense that the expectation value of $|\mathbf{x}|^2$ diverges. Intermediate regimes are forbidden. Following the lesson of our Maestro, to whom this contribution is gratefully dedicated, we find useful to explain this subtle mathematical phenomenon in the simplest possible model, namely the discrete model proposed by Haldane (Phys. Rev. Lett. 61, 2017 (1988)). We include a pedagogical introduction to the model and we explain its Localization Dichotomy by explicit analytical arguments. We then introduce the reader to the more general, model-independent version of the dichotomy proved in (Commun. Math. Phys. 359, 61-100 (2018)), and finally we announce further generalizations to non-periodic models.

研究の動機と目的

• トポロジカルインシュレータの本質的特徴を捉えるシンプルで物理的に関連のあるモデルを通じて、ギャップのある周期的量子系における局在化二分法を説明すること。
• 第一量子化形式におけるハルデーン模型の教育的導入を提供し、標準的な第二量子化処理とは対照的にすること。
• ブロッホ関数のH¹ノルムの発散と非自明なチャーン数との間の定量的関係を確立し、トポロジーと波動関数特異点の間に明確な関連を示すこと。
• 周期的系における局在化二分法を非周期的系へ一般化し、s* > 5 であるs*-局在化一般化Wannier基底が、極限 L → ∞ においてチャーンマーカーがゼロであることを証明すること。
• 摂動が加えられた系においても二分法の安定性を確立し、摂動系に局在化一般化Wannier基底が存在するならば、元の周期的系はトポロジカルな自明性を示すことを示すこと。

提案手法

• 時間反転対称性が破れているチャーンインシュレータをモデル化するため、複素跳躍とステアッタードポテンシャルを有する離散的タイトバインディング格子模型としてのハルデーン模型を用いる。
• ブロッホバンドを定義し、ブリユアンゾーン上のベリー曲率の積分によりチャーン数を計算するため、第一量子化形式を適用する。
• 非ゼロのチャーン数が存在する状況において、ブロッホ関数のH¹ノルムの発散を分析し、このような特異点が数学的に強制されることを示す。
• H¹ノルムの発散を、|x|² の期待値が発散することにより、Wannier関数の非局在化に翻訳する。
• 非周期的状況におけるスペクトル射影の積分核の指数的減衰を導くために、Combes-Thomas型推定を用いる。
• 極限 L → ∞ において、s*-局在化一般化Wannier基底（s* > 5）がチャーンマーカーがゼロであることを示すために、チャーンマーカー式 Tr[iχL P[[X₁,P],[X₂,P]] PχL] のトレース漸近展開を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャップのある周期的量子系における局在化二分法は、シンプルで物理的に関連のあるモデルで説明可能か？
• RQ2 非自明なトポロジー（非ゼロのチャーン数）とブロッホ関数の特異点との間の数学的関係は何か？
• RQ3 ブロッホ関数のH¹ノルムの発散は、どうしてWannier関数の非局在化を引き起こすのか？
• RQ4 周期的系における局在化二分法は非周期的系へ拡張可能か？また、局在化からトポロジカル自明性を保証する条件は何か？
• RQ5 インパルティなどの正則で非周期的な摂動のもとでも、局在化二分法は安定か？

主な発見

• ハルデーン模型において、非ゼロのチャーン数は、ブロッホ関数のH¹ノルムが発散することを強制し、トポロジーと波動関数特異点の間の直接的な関連を示す。
• H¹ノルムの発散は、対応するWannier関数が非局在化することを意味し、|x|² の期待値が発散することを示す。
• 周期的系では、局在化二分法が成立する：Wannier関数は時間反転対称性が成り立つ場合には指数的局在化し、そうでない場合には非局在化する。中間的状態は禁止される。
• 非周期的状況では、一般化Wannier基底がs* > 5 でs*-局在化しているならば、極限 L → ∞ において、スペクトル射影のチャーンマーカーはゼロになる。
• この結果は、十分に局在化した一般化Wannier基底を持つ系は、周期性の有無に関わらずホール輸送を示さないことを示唆する。
• 二分法は正則摂動のもとでも安定である：摂動系に局在化一般化Wannier基底が存在するならば、元の周期的系はゼロのチャーン数を持つ必要があり、非自明なトポロジーと矛盾する。