[論文レビュー] The Halo Mass Function from the Excursion Set Method. I. First principle derivation for the non-markovian case of gaussian fluctuations and generic filter

Michele Maggiore, Antonio Riotto|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2009

Astronomy and Astrophysical Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般のフィルタ関数およびガウス初期摂動を用いた非マルコフ過程のための確率的経路積分法を用いて、ハロー質量関数の第一原理的導出を提示する。吸収境界を伴う経路積分として問題を定式化することで、座標空間におけるトーパットフィルタについて、モンテカルロシミュレーションと完全に一致する解析的結果が得られ、標準的な固定障壁を用いた球対称崩壊モデルの限界を明らかにするとともに、数学的基盤を確立する。

ABSTRACT

A classic method to compute the mass function of dark matter halos is the excursion set method. To date, however, analytical results were only obtained if the density perturbation is smoothed with a sharp filter in momentum space: the dynamics is then markovian, and the probability satisfies the Fokker-Planck equation, with an "absorbing barrier" boundary condition. For different filters or when non-Gaussianity is present, the dynamics becomes non-markovian, the probability does not satisfy a local diffusion equation, and even the notion of absorbing barrier may be ill-defined. We develop an approach from first principles for computing analytically the halo mass function, formulating the problem in terms of a path integral with boundaries, valid for a generic filter function and arbitrary non-Gaussian theories. We perform explicitly the computation of the halo mass function with a tophat filter in coordinate space, finding full agreement with existing Monte Carlo simulations. These results put excursion set theory on firmer mathematical foundation and confirm that excursion set theory does not reproduce well the results of N-body simulations when combined with the spherical collapse model with fixed collapse barrier. In paper II of this series we show that this discrepancy disappears when one properly takes into account the fact that the collapse barrier is itself of stochastic nature, and in paper III we use the formalism deve loped in this paper to compute from first principles the effect of non-Gaussianities on the halo mass function.

研究の動機と目的

• マルコフ近似を超えたハロー質量関数を計算する数学的に厳密な第一原理的アプローチの開発。
• 固定崩壊障壁と球対称崩壊モデルを用いた標準的経路積分理論がN体シミュレーションと一致しない理由の解明。
• 任意のフィルタ関数および非マルコフ的ダイナミクス（ガウス初期摂動を含む）への経路積分法の一般化。
• 今後の論文で非ガウス性のハロー質量関数を分析する基盤を構築すること。

提案手法

• ハロー形成問題を、崩壊閾値への最初の通過時刻を表す吸収境界を伴う経路積分として定式化する。
• 座標空間における一般のフィルタ関数（特にトーパットフィルタ）を用いて、密度摂動のスムージングスケール依存性を定義する。
• Fokker-Planck方程式を避けることで、密度場の進化の非マルコフ的性質をモデル化する（Fokker-Planck方程式はマルコフ的状況にしか適用できない）。
• 確率過程論を用いて、スムージング進化における記憶効果を考慮した最初の通過時刻分布を導出する。
• トーパットフィルタに対して経路積分を解析的に解き、モンテカルロシミュレーションと比較可能にする。
• 非マルコフ的ダイナミクス下で、標準的な球対称崩壊モデルと固定障壁は経路積分定式化と整合しないことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非マルコフ的ダイナミクスと一般のフィルタ関数に対して、ハロー質量関数を解析的に導出できるか？
• RQ2 固定崩壊障壁を用いた標準的経路積分法がなぜN体シミュレーション結果を再現できないのか？
• RQ3 吸収境界を伴う経路積分定式化は、非マルコフ的状況における経路積分法をどのように標準的枠組みを超えて一般化するか？
• RQ4 フィルタ関数は非マルコフ的ダイナミクス下でのハロー質量関数にどのように寄与するか？
• RQ5 崩壊障壁の確率的性質を、経路積分形式に適切に組み込むにはどうすればよいか？

主な発見

• 座標空間におけるトーパットフィルタを用いた経路積分法による解析的ハロー質量関数は、既存のモンテカルロシミュレーションと完全に一致する。
• 固定崩壊障壁と球対称崩壊を仮定する標準的経路積分法は、密度場の進化の非マルコフ的性質を考慮していないため、シミュレーションと一致しない。
• 経路積分定式化は、マルコフ的極限を超えた経路積分理論の数学的に厳密な基盤を提供する。
• 非マルコフ的ダイナミクスは、Fokker-Planck方程式の使用と、標準的定式化における単純な吸収境界の概念を無効にする。
• 標準モデルとシミュレーションの乖離は、決定的で固定された崩壊障壁を仮定しているという誤った仮定に起因する。
• 結果として、N体シミュレーションとの一致を回復するには、崩壊障壁の確率的性質を含める必要があることが示され、これはシリーズ論文IIで確認されている。