[論文レビュー] The Halting Problem for Quantum Computers

Noah Linden, Sandu Popescu|ArXiv.org|Jun 16, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、量子コンピュータの停止問題が解決されたという主張に反論し、ユニタリな進化に基づく標準的な停止スキームが、異なる計算的分岐が異なる未知の時刻に停止する場合に、干渉を一貫して保存できないことを示している。著者らは、すべての分岐が同時に停止しない限り、このようなスキームがユニタリティを破ることを証明しており、これにより、重ね合わせと干渉に依存する一般の量子アルゴリズムの実現可能性が損なわれる。

ABSTRACT

We argue that the halting problem for quantum computers which was first raised by Myers, is by no means solved, as has been claimed recently. We explicitly demonstrate the difficulties that arise in a quantum computer when different branches of the computation halt at different, unknown, times.

研究の動機と目的

• 量子コンピュータの停止問題が解決されたという主張に反論すること、特に小沢の提唱した解決策に反論すること。
• 量子チューリングマシンの標準的停止スキーム（停止キュービットとアーキラを用いる）が、異なる計算的分岐が異なる時刻に停止する場合、ユニタリティを保持できないことを示すこと。
• 分岐が未知の不均等な時刻に停止する場合、停止記録が状態をエンタングルさせ、重ね合わせのコherー二ンスを破壊するため、有用な量子干渉は不可能であることを示すこと。
• 実際の問題は、停止を干渉させずに監視できるかどうかではなく、干渉に必要な量子コherー二ンスを計算が保持できるかどうかにあると主張すること。
• 標準的な量子チューリングマシンの枠組みは、すべての分岐が同時に停止しない限り、非ユニタリな振る舞いを示すため、停止を伴う計算には適用できないこと、すなわち、非停止のコンピュータにのみ適用可能であることを確立すること。

提案手法

• 計算キュービット、停止キュービット（|0⟩：実行中、|1⟩：停止中）、およびユニタリティを保持するために用いるアーキラ系を含む複合ヒルベルト空間を用いて、量子停止問題を形式化すること。
• 全系に作用するユニタリ演算子 U を導入し、分岐が停止した後（停止キュービット = |1⟩）は、計算状態が変化せず、アーキラが直交する状態に進化することでユニタリティを維持することを要請すること。
• 停止後にユニタリティを保つためには、アーキラが直交する状態に進化しなければならない条件（k ≠ k' のとき ⟨a_k|a_{k'}⟩ = 0）を導出すること。
• ヘッド状態とテープ構成が U の下で進化する量子チューリングマシンのモデルを分析し、停止済み状態と非停止状態との間で直交性が要求されることにより、すべての分岐が同時に停止しない限り矛盾が生じることを示すこと。
• 内部ヘッド状態およびテープ構成の進化にユニタリティの制約を適用し、非同時停止が生じると遷移振幅が消える（例：|Φ⁻_ν⟩ = |Φ⁺_ν⟩ = 0）ことを証明することで、停止がまったく不可能になることを示すこと。
• 結論として、標準的停止スキームは、すべての分岐が同時に停止する場合に限りユニタリティと整合するため、一般の量子アルゴリズムには適用できないこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリな量子コンピュータは、異なる計算的分岐を、異なる未知の時刻に確実に停止させることができるか？ その際、量子力学の原則に反しないか？
• RQ2 停止キュービットとアーキラを用いる標準的停止スキームは、分岐が異なる時刻に停止する場合でもユニタリティと整合するか？
• RQ3 非同時停止は、計算経路の重ね合わせにおける量子干渉にどのような影響を与えるか？
• RQ4 計算を干渉させずに監視することは可能か？ その場合、ユニタリティとコherー二ンスを保持できるか？
• RQ5 一般の量子チューリングマシンモデルにおいて、停止問題は解けるのか？ それとも、量子計算の構造そのものと根本的になじまないのか？

主な発見

• 小沢の研究で用いられる、量子チューリングマシンの標準的停止スキームは、異なる分岐が異なる時刻に停止する場合、ユニタリティと整合しない。
• ユニタリティの要請により、計算が停止した後はアーキラが直交する状態に進化しなければならず、これにより停止時刻が計算状態とエンタングルされる。
• 分岐が異なる未知の時刻に停止する場合、アーキラの停止時刻記録とのエンタングルメントが、計算分岐間の必要な干渉を破壊する。
• 停止状態がすべての非停止状態と直交しなければならないという要請は、すべての分岐が同時に停止しない限り矛盾を生じさせ、非同時停止がユニタリティによって禁止されることを示唆する。
• 内部状態（例：ヘッド状態やテープ）は、動的制約を受けるため、自由に進化せず、標準的停止モデルが要求するようには機能しない。これにより、標準的停止モデルは無効である。
• 結論として、この停止スキームは、停止しないコンピュータにのみ適用可能であり、明確な終了時刻を持つ実際の量子計算を記述する枠組みとしては機能しない。