[論文レビュー] The Hamilton-Waterloo problem for Hamilton cycles and C4k-factors

Hongchuan Lei, Hung‐Lin Fu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2010

graph theory and CDMA systems参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ハミルトンサイクルと$C_{4k}$-ファクターのケースにおけるハミルトン＝ウォーターループロブレムを完全に解決する。$HW(n;r,s;n,4k)$が存在するための必要十分条件は、$s > 0$のとき$n \not\equiv 0 \pmod{4k}$かつ$r+s = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor$、$s = 0$のとき$n \geq 3$である。この解決には、巡回群構成と$Z_{2t} \times Z_{2k}$上でのサイクルファクタリゼーションを用いた構造的な辺分解が用いられ、すべての$n \equiv 0 \pmod{4k}$およびすべての有効な$r,s$の組み合わせに対して存在が確立されている。

ABSTRACT

In this paper we give a complete solution to the Hamilton-Waterloo problem for the case of Hamilton cycles and C4k-factors for all positive integers k.

研究の動機と目的

• ハミルトンサイクルが1つのファクターであり、もう1つが$C_{4k}$-ファクターである場合のハミルトン＝ウォーターループロブレムを解明すること。
• $HW(n;r,s;n,4k)$分解の存在に必要な十分条件を特定すること。
• 均一な2ファクタリゼーションに関する先行研究を拡張し、$C_{4k}$-ファクターのケースを包括的に取り扱うこと。
• $Z_{2t} \times Z_{2k}$上での頂点分割とエッジマッチング技術を用いた構成的証明を提供すること。
• $n \equiv 0 \pmod{4k}$のとき、すべての可能な$r,s$値が実現可能であることを確立すること。

提案手法

• $K_n$の頂点集合を$n = 4kt$であるとき、$2t$個の部分$V_i = \{i\} \times Z_{2k}$に分割し、構造的な分解を可能にする。
• 辺集合$(i,j)_d = \{(i_l j_{l+d}) \mid l \in Z_{2k}\}$を、完全二部グラフ$K_{V_i,V_j}$における完全マッチングとして定義する。
• Lemma 2.2を用いて、オフセットの和が$2k$と互いに素である場合に、マッチング列からハミルトンサイクルを構成する。
• Lemma 2.3を用いて、オフセットの差が$2k$と互いに素である場合に、ペアドマッチングから$C_{4k}$-ファクターを形成する。
• $F_i$と$X$をマッチングの和集合として構成し、HCまたは$C_{4k}$-ファクターに分解可能な基本部分グラフとする。
• $F_{2i-1} \cup F_{2i}$および$F_1 \cup F_2 \cup F_{2t-1} \cup X$における分解の組み合わせにより、すべての必要な$r$および$s$値をカバーする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの$n$と$k$に対して$HW(n;r,s;n,4k)$分解が存在するか？
• RQ2 $n \equiv 0 \pmod{4k}$のとき、すべての有効な$r$と$s$の組み合わせが実現可能か？
• RQ3 辺集合とオフセットにどのような構造的条件が、ハミルトンサイクルまたは$C_{4k}$-ファクターの形成を保証するか？
• RQ4 必要条件$n \equiv 0 \pmod{4k}$は、$HW(n;r,s;n,4k)$の存在にとって十分でもあるか？
• RQ5 与えられた制約のもとで、任意の$r$と$s$に対して分解を体系的にどのように構成できるか？

主な発見

• $HW(n;r,s;n,4k)$が存在するための必要十分条件は、$s > 0$のとき$n \not\equiv 0 \pmod{4k}$かつ$r+s = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor$、$s = 0$のとき$n \geq 3$である。
• すべての$n \equiv 0 \pmod{4k}$に対して完全に解決されており、$s > 0$のときすべての$r \in \{0,1,\dots,\frac{n-2}{2}\}$に対して存在が保証されている。
• $n = 4k$のとき、結果は既知の可解なサイクル分解（定理1.5）から直接導かれる。
• $n = 8k$のとき、定理1.4の$HW(n;r,s;t,2t)$の結果が$t = 2k$のとき適用可能であり、結果が確認される。
• $n \equiv 0 \pmod{4k}$のとき、$HW^*(n;n,4k)$は$0$から$\frac{n-2}{2}$までのすべての整数を含む。これは命題3.3、3.4、3.6の組み合わせにより示された。
• オフセットの和と差に関する互いに素条件を用いたマッチングの和集合の分解により、構成法はすべての$r$および$s$値を成功裏に実現している。