[論文レビュー] The Hamiltonian Approach and Phase Space Path Integration for Nonlinear Sigma Models with and without Fermions

Bas Peeters, P. van Nieuwenhuizen|ArXiv.org|Dec 16, 1993

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、フェルミオンを含む・含まない非線形スカラー・モデルに対して、ハミルトニアンに基づく位相空間経路積分アプローチを開発し、時間順序展開においてΔtの線形項を超えるすべての項を保持しなければ、伝播関数を正しく計算できないことを示している。主な結果は、Δtの次数までで閉じた形の伝播関数の式であり、これは高次の項へ一般化可能であり、超対称的経路積分が、超デターミナントが通常のものに置き換わることで、古典的項、超ヴァン・ヴレック・デターミナント項、曲率項に分解されることを明らかにする。

ABSTRACT

Instead of imposing the Schrödinger equation to obtain the configuration space propagator $\csprop$ for a quantum mechanical nonlinear sigma model, we directly evaluate the phase space propagator $\psprop$ by expanding the exponent and pulling all operators $\hat p$ to the right and $\hat x$ to the left. Contrary to the widespread belief that it is sufficient to keep only terms linear in $Δt$ in the expansion if one is only interested in the final result through order $Δt$, we find that all terms in the expansion must be retained. We solve the combinatorical problem of summing the infinite series in closed form through order $Δt$. Our results straightforwardly generalize to higher orders in $Δt$. We then include fermions for which we use coherent states in phase space. For supersymmetric $N{=}1$ and $N{=}2$ quantum mechanics, we find that if the super Van Vleck determinant replaces the original Van Vleck determinant the propagator factorizes into a classical part, this super determinant and the extra scalar curvature term which was first found by DeWitt for the purely bosonic case by imposing the Schrödinger equation. Applying our results to anomalies in $n$-dimensional quantum field theories, we note that the operator ordering in the corresponding quantum mechanical Hamiltonians is fixed in these cases. We present a formula for the path integral action, which corresponds one to one to any given covariant or noncovariant $\hat H$. We then evaluate these path integrals through two loop order, and reobtain the same propagators in all cases.

研究の動機と目的

• 非線形スカラー・モデルに対して、ハミルトニアン的手法を用いた体系的な位相空間経路積分形式を構築すること。
• 非線形スカラー・モデルの経路積分量後に生じる長年の演算子順序付けと時間順序付けの曖昧さを解消すること。
• 実現状態と超対称性を用いてフェルミオンを含める形式への拡張。
• ヴァン・ヴレック・デターミナントとその超対称的一般化が経路積分測度に果たす役割を明確化すること。
• n次元QFTにおけるシュレーディンガー方程式とアノマリー構造とにおける経路積分の整合性を示すこと。

提案手法

• 著者たちは時間発展演算子をΔtのべき級数に展開し、正規順序化を用いて演算子を体系的に再配置することで、すべての運動量演算子p̂を右に、位置演算子x̂を左に移動させる。
• Δtの次数までにわたるすべての時間順序項の和を解き、位相空間伝播関数の閉じた形の式を得る。
• フェルミオンに対しては、位相空間の実現状態を用いて経路積分を構築し、適切なグラスマン積分と超ハミルトニアン構造を保証する。
• 超ヴァン・ヴレック・デターミナントを導入し、超対称的ケースでは標準的なものに置き換える。これにより伝播関数が因数分解された形になる。
• この手法を用いて、任意の共変または非共変ハミルトニアンĤに対応する正確な経路積分作用を導出する。
• 2ループの次数まで経路積分を評価し、シュレーディンガー方程式および既知の伝播関数と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形スカラー・モデルにおいて、Δtの線形項までで経路積分の時間順序展開を打ち切るのはなぜ誤りなのか？
• RQ2 フェルミオンの導入が位相空間経路積分およびヴァン・ヴレック・デターミナントの構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 超対称的非線形スカラー・モデルにおける超ヴァン・ヴレック・デターミナントの正確な役割は何か？
• RQ4 与えられたハミルトニアンを正確に再現する経路積分作用を構築することは可能か？
• RQ5 ハミルトニアンにおける演算子順序付けが、n次元量子場理論におけるアノマリー構造に与える影響は何か？

主な発見

• 伝播関数を正しく計算するためには、Δtの線形項を超える時間順序展開のすべての項を保持しなければならない。
• 位相空間伝播関数について、Δtの次数までで閉じた形の式が導出され、長年の組合せ的困難が解決された。
• N=1およびN=2の超対称的量子力学において、伝播関数は古典的項、超ヴァン・ヴレック・デターミナント項、スカラー曲率項に因数分解される。
• 超対称的モデルでは、経路積分測度において標準的なヴァン・ヴレック・デターミナントが超ヴァン・ヴレック・デターミナントに置き換えられる。
• ハミルトニアンから導出された経路積分作用は、元の演算子順序を正確に再現し、2ループの次数までで正しい伝播関数を再現する。
• n次元量子場理論において、ハミルトニアンの演算子順序付けはアノマリーの観点から固定され、これが経路積分形式に反映される。