[論文レビュー] The Hamiltonian Formulation of Higher Order Dynamical Systems

Jan Govaerts, Maher S. Rashid|ArXiv.org|Mar 2, 1994

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ディラックの制約付き力学のアプローチを用いて、高次の力学系のハミルトニアン形式を構築し、位相空間構造とシンプレクティック幾何学の明確な記述を提供する。オストログラドスキーの手法とは異なり、直接的に制約付きの高次ラグランジュ系を扱い、古典的定式化の範囲外にある系に対しても体系的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Using Dirac's approach to constrained dynamics, the Hamiltonian formulation of regular higher order Lagrangians is developed. The conventional description of such systems due to Ostrogradsky is recovered. However, unlike the latter, the present analysis yields in a transparent manner the local structure of the associated phase space and its local sympletic geometry, and is of direct application to {\em constrained\/} higher order Lagrangian systems which are beyond the scope of Ostrogradsky's approach.

研究の動機と目的

• ディラックの制約付き力学フレームワークを用いて、正則な高次ラグランジュ系のハミルトニアン形式化を拡張すること。
• オストログラドスキーの従来の記述を、より透明で幾何学的に整然とした形で回復すること。
• オストログラドスキーの元来の定式化の範囲外にある、制約付きの高次系に適用可能な体系的かつ一貫した手法を提供すること。
• このような系における位相空間の局所的構造とそのシンプレクティック幾何学を明確にすること。
• 場の理論や量子重力に関連する、制約付きの高次系に対して堅牢な形式的枠組みを提供すること。

提案手法

• 高次ラグランジュ系に適応したディラックのアルゴリズムを用い、高次微分を独立変数として扱う。
• 標準的な正準形式を拡張し、高次速度に対応する一般化された正準運動量を導入する。
• 高次系におけるヘッシアン行列の特異性に起因する一次的および二次的制約を同定する。
• 制約を含む全ハミルトニアンを構築し、ディラックの整合性条件を適用して全制約集合を特定する。
• 制約面におけるシンプレクティック構造を導出し、位相空間の局所的幾何学的性質を明らかにする。
• 結果として得られる形式的枠組みが、制約なしの場合はオストログラドスキーの定式化に還元されることを示すが、制約付き系への自然な拡張が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラックの制約付き力学をどのように高次ラグランジュ系のハミルトニアン定式化に適応できるか？
• RQ2 高次系における位相空間の局所的構造とそのシンプレクティック幾何学はいかなるものか？
• RQ3 提案手法は、オストログラドスキーの手法の範囲外にある制約付き系をどのように扱うか？
• RQ4 新しい形式的枠組みは、どのような点で標準的なオストログラドスキー定式化を特別な場合として回復するか？
• RQ5 この枠組みは、高次微分を含む場の理論や量子重力にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿は、ディラックの制約付き力学を用いて正則な高次ラグランジュ系のハミルトニアンを体系的かつ透明な枠組みで定式化することに成功し、明確な形式的枠組みを提供する。
• 位相空間構造とそのシンプレクティック幾何学が明示的に導出され、系の局所的微分幾何的性質が明らかにされた。
• 制約が存在しない場合に、この手法が自然に従来のオストログラドスキーの定式化に還元されることを示した。
• 制約付きの高次系に直接適用可能であり、オストログラドスキーの元来の手法では扱えない系に対しても有効である。
• 制約が位相空間の縮約に果たす役割を含め、力学の幾何学的かつ一貫した記述が得られた。
• 解析により、制約面上のシンプレクティック構造が適切に定義されており、動力学と整合的であることが示され、ハミルトニアン定式化の整合性が保証された。