[論文レビュー] The Hardy Operator and Boyd Indices

Stephen Montgomery-Smith|ArXiv.org|Dec 19, 1994

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 9被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、ボイド指数を用いて、再配置不変な擬バナッハ空間上でのハーディー作用素の有界性の必要十分条件を確立する。ハーディー作用素 $ H^{(p,r)} $ がこのような空間 $ X $ 上で有界であるための必要十分条件は、下位ボイド指数 $ p_X > p $ であることであり、同様に $ H_{(q,r)} $ が有界であるための必要十分条件は、上位ボイド指数 $ q_X < q $ であることである。これは古典的結果を擬バナッハ設定に拡張した結果である。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions for the Hardy operator to be bounded on a rearrangement invariant quasi-Banach space in terms of its Boyd indices.

研究の動機と目的

• 再配置不変な擬バナッハ空間上でのハーディー作用素の有界性をボイド指数を用いて特徴付けること。
• ローレンツ空間およびローレンツ型空間に関する既知の結果を、より広いクラスの擬バナッハ再配置不変空間へと拡張すること。
• ボイド指数と補間理論におけるハーディー作用素の挙動との間に明確な関係を確立すること。
• アリーノとマッケンホプト（1990年）およびボイド（1967年、1969年）の結果を、擬バナッハ設定へと一般化すること。

提案手法

• 拡大作用素 $ D_a f(t) = f(at) $ の作用素ノルムを用いて、下位ボイド指数 $ p_X $ と上位ボイド指数 $ q_X $ を定義する。
• 減少順に並べた関数 $ f^* $ を用いて、ハーディー作用素 $ H^{(p,r)} $、$ H_{(q,r)} $、$ H^{(p,\infty)} $、$ H_{(q,\infty)} $ を特徴付ける。
• 擬三角不等式と凸化技術を用いて、$ X $ 内の関数の和のノルムを制御する。
• 反復ハーディー作用素の反復公式を適用し、$ H^{(p,r)} f $ に関する $ D_a f $ の推定を得る。
• $ \|H^{(p,r)} f\|_X \leq C \|f\|_X $ の不等式を用いて、$ \|D_a f\|_X $ に対する逆推定を導出し、ボイド指数の上限を得る。
• 定理1および定理2を用いて、$ H^{(p,r)} + H_{(q,s)} $ のノルムと $ X $-ノルムとの同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再配置不変な擬バナッハ空間 $ X $ に対して、ハーディー作用素 $ H^{(p,r)} $ が $ X $ から $ X $ へ有界であるためのボイド指数に関する条件は何か？
• RQ2 ボイド指数は、$ X $ 上での最大関数およびヒルベルト変換の有界性とどのように関係するか？
• RQ3 ボイド指数と反復ハーディー作用素 $ (H^{(p,r)})^{n+1} $ の間の正確な関係は何か？
• RQ4 ローレンツ空間上での擬線形作用素の有界性は、$ p $ と $ q $ の間のボイド指数を厳密に有する一般の再配置不変な擬バナッハ空間へと拡張可能か？
• RQ5 なぜ、作用素 $ H^{(p,\infty)} $ および $ H_{(p,\infty)} $ に対して逆の含意が成り立たないのか？

主な発見

• ハーディー作用素 $ H^{(p,r)} $ が $ X $ 上で有界であるための必要十分条件は、下位ボイド指数が $ p_X > p $ を満たすことである。
• ハーディー作用素 $ H_{(q,r)} $ が $ X $ 上で有界であるための必要十分条件は、上位ボイド指数が $ q_X < q $ を満たすことである。
• $ H^{(p,\infty)} $ に対しては、$ p_X > p $ であれば有界性が成り立つが、逆の含意は成り立たない。これは $ L_{p,\infty} $ の例によって示されている。
• ヒルベルト変換が $ X $ 上で有界であるための必要十分条件は、$ p_X > 1 $ かつ $ q_X < \infty $ であることである。
• ハーディー＝リトルウッドの最大関数が $ X $ 上で有界であるための必要十分条件は、$ p_X > 1 $ であることである。
• 証明により、明確な定量的推定が得られる：$ \|H^{(p,r)} f\|_X \leq C \|f\|_X $ ならば、$ \|D_a f\|_X \leq C' a^{-(1 - 1/C^r)/p} \|f\|_X $ が成り立ち、これより $ p_X \geq p / (1 - 1/C^r) $ が導かれる。