[論文レビュー] The Hausdorff dimension of the range of the Lévy multistable processes

Ronan Le Guével|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、時間とともに滑らかに変化する安定性指数 α を持つ Lévy 多重安定過程の値域の Hausdorff 維度を計算し、定数 α の古典的結果を拡張している。均一な安定過程とは異なり、1 階モーメントが無限大である場合、次元は多重安定過程の特定のバージョンに依存し、非定常的かつ i.i.d. でない増分の性質が明らかになる。

ABSTRACT

We compute the Hausdorff dimension of the image X(E) of a non random Borel set E $\subset$ [0, 1], where X is a Lévy multistable process in R. This extends the case where X is a classical stable Lévy process by letting the stability exponent $α$ be a smooth function, which leads to non-homogeneous processes because their increments are not stationary and not necessarily independent. Contrary to the situation where the stability parameter is a constant, the dimension depends on the version of the multistable Lévy motion when the process has an infinite first moment.

研究の動機と目的

• 時間に依存する安定性指数 α が滑らかな関数である非一様系への Lévy 过程の値域の Hausdorff 維度の計算を拡張すること。
• 非ランダムなボレル集合 E ⊂ [0,1] に対する多重安定 Lévy 過程 X における像 X(E) のフラクタル幾何学的性質を分析すること。
• 1 階モーメントが無限大である場合、値域の次元が多重安定過程のバージョンにどのように依存するかを調査すること。
• 時間変動する α を持つ多重安定過程が非定常的かつ i.i.d. でない増分を示し、その結果、次元が過程の構築方法に依存することを確立すること。

提案手法

• 時間依存する安定性指数 α(t) を持つ多重安定 Lévy 動作を定義するために、Ferguson-Klass-LePage 級数表現を用いる。
• 対称 α 積分安定確率測度とポアソン過程を用いた確率積分表現を適用し、ジャンプの発生とサイズをモデル化する。
• 過程を有限変動部 A とマルティンゲール部 M に分解する半マルティンゲール A + M の形に分解する。
• 小さな区間における増分の p 階モーメントを制御するために、ドーブのマルティンゲール不等式とホルダーの不等式を適用する。
• 局所的挙動の分析と次元の上限・下限の導出に、凸包と分割のメッシュを用いる。
• α の変動と時間区間におけるジャンプサイズの挙動に関する技術的補題を用いて、次元の境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多重安定 Lévy 過程の値域の Hausdorff 維度は、時間に依存する安定性指数 α(t) にどのように依存するか？
• RQ2 1 階モーメントが無限大である場合、次元にはどのような影響があり、その場合の過程のバージョンの選択にどのような意味があるか？
• RQ3 多重安定過程における増分の非定常的かつ i.i.d. でない性質は、古典的安定過程と比較して値域の次元をどのように変えるか？
• RQ4 異なるバージョンの多重安定過程に対して、次元を一様に計算できるか、それとも構築方法に依存して変化するか？

主な発見

• 値域 X(E) の Hausdorff 維度は、集合 E 上での時間に依存する安定性指数 α(t) の局所的挙動の関数として計算される。
• 1 階モーメントが無限大である場合、値域の次元は多重安定過程の特定のバージョンに依存し、異なる構築方法におけるフラクタル次元の非一意性が示される。
• 次元は E 上での α(t) の本質的上限と下限に依存し、次元の公式は α(t) が誘導する局所的ホルダー正則性を反映している。
• 本結果は、定数 α に固定された安定過程に対する古典的結果を、非一様系に拡張したものであり、過程が非定常的かつ非 i.i.d. 増分を持つことを示している。
• 有限変動部とマルティンゲール部のモーメント推定に依存した証明であり、ポアソンジャンプの発生と α(t) に従うサイズスケーリングが用いられる。
• 次元は α(t) の小さな区間における変動に敏感であり、分割のメッシュとジャンプサイズの制御により、境界が導出される。