[論文レビュー] The Hawaiian earring group and metrizability

Paul Fabel|ArXiv.org|Mar 10, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ホイール付き・ハワイアン・アーリングの位相的基本群が、ループ空間からの商位相を備えた場合、非可換であることを証明している。基点回りの振動が増加するループの列を用いて、恒等的ループへの収束が位相的に失敗することを示し、これにより、この群は距離的対応物とは明確に区別され、非可換で位相的に同相でない構造を有することが立証された。

ABSTRACT

Endowed with quotient topology inherited from the space of based loops, the fundamental group of the Hawaiian earring fails to be metrizable. The fundamental group of any space which retracts to the Hawaiian earring is also nonmetrizable.

研究の動機と目的

• ホイール付き・ハワイアン・アーリングの位相的基本群が可換かどうかという未解決の問題を解消すること。
• ループ空間位相によって誘導される基本群上の商位相が、本質的に非可換であることを示すこと。
• この位相的群構造が、逆極限および距離的構成の両方と位相的に明確に異なること。
• ホイール付き・ハワイアン・アーリングが、位相的基本群が可換である空間へのリトラクトとして埋め込まれる可能性に、位相的障害を立証すること。

提案手法

• ホイール付き・ハワイアン・アーリング内の基点付きループの空間に、一様収束位相を導入する。
• パス成分の商空間として、位相的基本群を定義する。これはループ空間からの自然な射影による。
• 最初の円と $ m_n $ 番目の円の両方を巻き込むようなループ $ f_n $ の列を構成する。このループは、非基点で増加する振動を有するように設計されている。
• 関数 $ o(g) $ を定義し、基点と固定された非基点 $ q \in X_1 $ の間の入れ替え回数を数える。この関数はパスホモトピーに関して保存される。
• $ o(f_n) \geq n $ であることを利用して、$ f_n $ とパスホモトピックな任意のループ列が、定数ループに一様収束できないことを示す。
• 位相的基本群の $ T_1 $ 性とパス成分の閉性を用いて、$ [f_n] $ が $ [P] $ に収束しないことを証明し、非可換性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホイール付き・ハワイアン・アーリングの位相的基本群が、ループ空間からの商位相を備えた場合、可換であるか。
• RQ2 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 上の商位相は、逆極限および距離的構成の基本群とどのように異なるか。
• RQ3 ホイール付き・ハワイアン・アーリングは、位相的基本群が可換である空間のリトラクトとして埋め込めるか。
• RQ4 ループ空間のどのような位相的性質が、基本群における特定の列の収束を妨げているか。

主な発見

• 位相的基本群 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ は、$ [f_n] $ が恒等的ループ $ [P] $ に収束しないことを示すことで、非可換であることが証明された。
• 各 $ f_n $ が振動数 $ n $ 以上を有するという性質から、$ C_p(HE) $ 内で $ [f_n] $ の収束部分列は存在せず、$ \{[f_n]\} $ が閉集合であり、$ [P] $ に蓄積しないことが示された。
• 位相的群 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ は可分かつ正規であるが、その非可換性により、可換な逆極限 $ \varprojlim \pi_1(X_n, p) $ とは明確に区別される。
• $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ は逆極限空間への位相的埋め込みを有さず、両者の群は位相的に同相ではない。
• ホイール付き・ハワイアン・アーリングは、$ \pi_1^{\text{top}}(Y) $ が可換であるようなパス連結な距離空間 $ Y $ においても、リトラクトとして埋め込めない。
• $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ の非可換性は、ホイール付き・ハワイアン・アーリングにリトラクトするような空間 $ Y $ が、その位相的基本群が非可換でなければならないことを示唆する。