[論文レビュー] The Heisenberg-Pauli canonical formalism of quantum field theory in the rigorous setting of nonlinear generalized functions (Part I)

Jean-François Colombeau, André Gsponer|ArXiv.org|Jul 2, 2008

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非線形一般化関数の枠組みを用いて、量子場理論におけるハイゼンベルク＝パウリの正準形式の厳密な数学的基盤を確立する。演算子値分布を初期から正則化する一般化関数の枠組みに埋め込むことで、自由場および自己相互作用場の演算子、交換関係、ハミルトニアンが数学的に well-defined であることを示し、正則化の選択によりゼロ点エネルギーを除去可能であることを示す。形式は分布的特異性を回避し、標準的な分布に基づく手法とは対照的に一貫性を保つ代替手法を提供する。

ABSTRACT

The unmodified Heisenberg-Pauli canonical formalism of quantum field theory applied to a self-interacting scalar boson field is shown to make sense mathematically in a framework of generalized functions adapted to nonlinear operations. The free-field operators, their commutation relations, and the free-field Hamiltonian operator are calculated by a straightforward transcription of the usual formalism expressed in configuration space. This leads to the usual results, which are essentially independent of the regularization, with the exception of the zero-point energy which may be set to zero if a particular regularization is chosen. The calculations for the self-interacting field are more difficult, especially because of the well-known problems due to the unboundness of the operators and their time-dependent domains. Nevertheless, a proper methodology is developed and a differentiation on time-dependent domains is defined. The Heisenberg equations and the interacting-field equation are shown to be mathematically meaningful as operator-valued nonlinear generalized functions, which therefore provide an alternative to the usual Bogoliubov-Wightman interpretation of quantized fields as operator-valued distributions. The equation for the time-evolution operator is proved using two different methods, but no attempt is made to calculate the scattering operator, and the applications to perturbation theory are left to a subsequent report.

研究の動機と目的

• 量子場理論における未修正のハイゼンベルク＝パウリ正準形式の数学的解釈を厳密に提供すること。
• 標準的 QFT における演算子値分布および非有界演算子に起因する数学的不整合を解消すること。
• 正則化を計算の最終段階まで一般化したまま保ち、物理的予測を損なわないようにすること。
• 一般化関数論を用いて、時間に依存する演算子の定義域における時間微分作用素を定義すること。
• 相互作用場方程式および時間発展演算子の一般化関数枠組み内での数学的妥当性を確立すること。

提案手法

• 非線形一般化関数の代数（G代数）を採用し、自由場および相互作用場の演算子をヒルベルト空間上の有界線形演算子値一般化関数として埋め込む。
• モリファイアおよびダムパーを用いて、初期から演算子値分布を正則化し、すべての導出量が well-defined であることを保証する。
• 一般化微分を定義することで、時間に依存する定義域上での微分が可能となり、演算子定義域の時間発展演算と整合する。
• ハミルトニアンは、自由場の演算子を G-埋め込みにより厳密に構成し、正規順序付けおよびゼロ点エネルギーの取り扱いに注意を払う。
• 時間発展演算子が要求される方程式を満たすことを、2通りの独立した方法で証明し、摂動展開を避ける。
• 場を分布ではなく一般化関数として扱うことで、ボゴリューボフ＝ヴァイツマン解釈を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未修正のハイゼンベルク＝パウリ形式を非線形一般化関数の文脈で数学的に厳密に定式化できるか？
• RQ2 一般化関数枠組み内において、時間に依存する定義域を持つ演算子に対して、時間微分作用素を一貫して定義できるか？
• RQ3 相互作用場方程式は、演算子値一般化関数として数学的に意味を持つのか？
• RQ4 散乱演算子は、この枠組み内で厳密に定義可能であり、その摂動展開を開始できるか？
• RQ5 ゼロ点エネルギーは物理的曖昧性のままであるのか、それとも正則化の選択によって除去可能なのか？

主な発見

• 自由場のハミルトニアンおよび交換関係は、一般化関数枠組み内で厳密に導出され、正則化の影響を除き、ゼロ点エネルギーを除いては正則化に依存しない結果が得られる。
• 特定の正則化を選択することでゼロ点エネルギーをゼロに設定でき、この枠組み内ではそれが物理的でないことを示す。
• 時間発展演算子が2通りの異なる方法で要求される方程式を満たすことが証明され、数学的整合性が確認された。
• 相互作用場方程式は、演算子値非線形一般化関数として数学的に意味を持つことが示された。
• 標準的な分布に基づく解釈とは対照的に、分布的特異性を回避する一貫性のある代替手法を提供する。
• 時間発展演算子の摂動展開に対する剰余項の推定が得られ、時間および結合定数の強さに応じて有界な成長を示すことが分かった。