[論文レビュー] The Heisenberg Uncertainty Principle and the Nyquist-Shannon Sampling Theorem

Pierre A. Millette|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ハイゼンベルクの不確定性原理（HUP）をフーリエ変換理論の結果として再解釈し、それがもともとの量子不確実性ではなく、共役変数（例：位置と運動量）の数学的関係に起因することを示している。量子測定の限界をより正確に記述するものとして、ナイキスト＝シャノン標本化定理を提唱し、固体物理学におけるブリユアンゾーンが、この標本化原理を量子スケールで実現したものであることを示唆している。これは、測定の限界—本質的不確実性ではなく—が、量子行動の認識を規定していることを示している。

ABSTRACT

The derivation of the Heisenberg Uncertainty Principle (HUP) from the Uncertainty Theorem of Fourier Transform theory demonstrates that the HUP arises from the dependency of momentum on wave number that exists at the quantum level. It also establishes that the HUP is purely a relationship between the effective widths of Fourier transform pairs of variables (i.e. conjugate variables). We note that the HUP is not a quantum mechanical measurement principle per se. We introduce the Quantum Mechanical equivalent of the Nyquist-Shannon Sampling Theorem of Fourier Transform theory, and show that it is a better principle to describe the measurement limitations of Quantum Mechanics. We show that Brillouin zones in Solid State physics are a manifestation of the Nyquist-Shannon Sampling Theorem at the quantum level. By comparison with other fields where Fourier Transform theory is used, we propose that we need to discern between measurement limitations and inherent limitations when interpreting the impact of the HUP on the nature of the quantum level. We further propose that while measurement limitations result in our perception of indeterminism at the quantum level, there is no evidence that there are any inherent limitations at the quantum level, based on the Nyquist-Shannon Sampling Theorem.

研究の動機と目的

• 量子力学とは独立してフーリエ変換理論から不確定性原理を導出することで、ハイゼンベルクの不確定性原理（HUP）を再評価すること。
• HUPを自然の根本的制限として解釈するのではなく、測定制約の反映であると主張すること。
• 量子測定の限界を記述するより補足的かつ正確な原理として、ナイキスト＝シャノン標本化定理を提唱すること。
• 固体物理学におけるブリユアンゾーンが、量子スケールでのナイキスト＝シャノン標本化定理の物理的実現であることを示すこと。
• 量子系は本質的に不確実ではなく、測定の限界によって不確実に見えるのであり、適切に標本化すれば決定的である可能性を主張すること。

提案手法

• 分散と平均を用いて定義される関数対の有効幅を用いて、フーリエ変換理論の不確定性定理からHUPを導出する。
• 時間／周波数および位置／波数のフーリエ変換対の関係を適用し、角周波数および周期周波数の両形式での不確定性関係を導出する。
• ド・ブロイ関係式（p = h/λ または p = ħk）を用いて波数と運動量を結びつけ、Δx·Δp ≥ h/2 を示す。
• ナイキスト＝シャノン標本化定理を量子力学的同等物として導入し、1つの共役変数を定期的に標本化することで、HUPの限界以下の変数値にアクセス可能であることを示す。
• 固体物理学におけるブリユアンゾーンを、量子スケールでのナイキスト＝シャノン標本化定理の物理的実現として分析する。
• HUPと標本化定理の重複が h/2 で起こる点を比較し、それが物理的意味を持たない数学的偶然であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイゼンベルクの不確定性原理は、量子力学とは独立して、完全にフーリエ変換理論から導出可能か？
• RQ2 HUPは自然の根本的制限であるのか、それとも測定制約の結果であるのか？
• RQ3 ナイキスト＝シャノン標本化定理は、HUPよりも量子測定の限界を理解するためのより良い枠組みを提供するか？
• RQ4 固体物理学におけるブリユアンゾーンは、量子スケールでのナイキスト＝シャノン標本化定理の実現であるか？
• RQ5 定期的な標本化によって、HUPの限界を下回る量子変数が測定可能であるか、標本化定理の予測に従うか？

主な発見

• フーリエ理論から導出されるHUPは、Δx·Δp の積に対して下限 h/2 を与えるが、従来の形式とは異なり ħ/2 ではない。
• HUPは、フーリエ変換対における共役変数の数学的関係に起因するものであり、本質的な量子不確実性とは無関係である。
• ナイキスト＝シャノン標本化定理は、HUPを補完し、定期的な標本化によってHUPの限界以下の変数値にアクセス可能であることを示している。
• 固体物理学におけるブリユアンゾーンは、量子スケールでのナイキスト＝シャノン標本化定理の物理的実現であると示された。
• HUPと標本化定理の重複が h/2 で起こる点は、物理的意味を持たない数学的偶然である。
• 測定の限界が、量子系が不確実に見える理由を説明するものであり、本質的不確実性ではなく、適切に標本化すれば量子系は決定的である可能性を示唆している。