[論文レビュー] The Hessian of the distance from a surface in the Heisenberg group

Nicola Arcozzi, Fausto Ferrari|ArXiv.org|Oct 11, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ヘイセンベルク群 $\mathbb{H}^1$ 内の $C^3$ 表面 $S$ からの符号付きカーヌォー＝シャラトエドリー距離関数の水平ヘッセ行列を計算し、その結果を表面の平均曲率 $h_S$ と、計量法線測地線に関連する「虚曲率」$p_S$ で表す。主な結果は閉形式の公式：$\mathrm{Hess}_{\mathbb{H}}\delta_S = v_S \otimes v_S \cdot (h_S I + p_S J)$ であり、ここで $v_S$ は $S$ における単位水平接ベクトル、$I$, $J$ は単位行列およびシミレクティック行列である。

ABSTRACT

We compute the horizontal Hessian of the signed Carnot-Charatheodory distance from a surface S in the Heisenberg group H. The expression for the Hessian is in terms of the surface's intrinsic curvatures. As an application, we compute the horizontal Hessian of the Carnot-Charatheodory distance from a point in H.

研究の動機と目的

• ヘイセンベルク群内の $C^3$ 表面 $S$ からの符号付き距離関数の水平ヘッセ行列に対する明示的公式を導出すること。
• 先行研究で導入された「虚曲率」$p_S$ の幾何的役割を、計量法線測地線と関連づけて特徴づけること。
• 非垂直平面およびカーヌォー＝シャラトエドリー球面を含む特定の表面に対して、明示的なヘッセ行列の計算を提供すること。
• 水平ヘッセ行列と部分リーマン幾何における内在的曲率との間の関係を確立すること。

提案手法

• ヘイセンベルク群 $\mathbb{H}^1$ 内の $C^3$ 界面 $S = \partial\Omega$ からの符号付き距離関数 $\delta_S$ を定義し、$\delta_S(P) = \pm d(P,S)$ で $\Omega$ の側に応じて符号を定める。
• 水平勾配 $\nabla_{\mathbb{H}} = (X,Y)$ を用い、ここで $X = \partial_x + 2y\partial_t$, $Y = \partial_y - 2x\partial_t$ である。これにより水平ヘッセ行列 $\mathrm{Hess}_{\mathbb{H}}f = \begin{bmatrix} XXf & YXf \\ XYf & YYf \end{bmatrix}$ を定義する。
• 特徴的でない点 $P$ における $\delta_S$ のヘッセ行列を、$\mathrm{Hess}_{\mathbb{H}}\delta_S(P) = v_P S \otimes v_P S \cdot (h_S(P)I + p_S(P)J)$ として表現する。ここで $v_P S$ は $P$ における $S$ の単位水平接ベクトルである。
• 平均曲率 $h_S(P)$ を水平形状作用素のトレースとして定義し、定義関数 $g$ を用いて $p_S(P) = -[X,Y]g(P)/|\nabla_{\mathbb{H}}g(P)|$ により虚曲率 $p_S(P)$ を定義する。
• 非垂直平面および計量球 $\Sigma$ を用いた具体例に公式を適用し、$u$ と $\theta$ を用いたパラメータ表示を用いる。
• 水平曲線 $\gamma_\theta(u)$ を用いたパラメトリック曲線と、水平曲線のための常微分方程式を解くことにより、$X\delta_S$, $Y\delta_S$, $h_\Sigma$, $p_\Sigma$ の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイセンベルク群内の表面からの距離関数の水平ヘッセ行列は、内在的幾何的量を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 先行研究で導入された「虚曲率」$p_S$ の幾何的意味は何か。また、計量法線測地線とどのように関係しているか？
• RQ3 非垂直平面およびカーヌォー＝シャラトエドリー球面からの距離関数の明示的ヘッセ行列は何か？
• RQ4 水平ヘッセ行列は、その寿命 $\tau = \pi / |p_S|$ に従って、計量法線測地線の曲率とどのように関係しているか？
• RQ5 計量球 $\Sigma$ 上にある水平曲線のパラメトリック的性質および曲率的性質は何か？

主な発見

• 特徴的でない点 $P$ における符号付き距離関数 $\delta_S$ の水平ヘッセ行列は、$\mathrm{Hess}_{\mathbb{H}}\delta_S(P) = v_P S \otimes v_P S \cdot (h_S(P)I + p_S(P)J)$ で与えられる。ここで $v_P S$ は $S$ における $P$ での単位水平接ベクトルである。
• 表面 $S$ の点 $P$ における平均曲率 $h_S(P)$ は水平形状作用素のトレースとして定義され、$p_S(P)$ は定義関数 $g$ を用いて $p_S(P) = -[X,Y]g(P)/|\nabla_{\mathbb{H}}g(P)|$ で定義される「虚曲率」である。
• カーヌォー＝シャラトエドリー球面 $\Sigma$ に対して、パラメータ $u$ で表される点では虚曲率は $p_\Sigma(P) = 2u$ である。ここで $u \in (-2\pi, 2\pi) \setminus \{0\}$ である。
• パラメータ $u$ における $\Sigma$ の平均曲率は、$h_\Sigma(P) = \frac{u\cos u - \sin u}{\frac{u}{2}\cos(u/2) - \sin(u/2)} \cdot \frac{u}{4\sin(u/2)}$ で与えられる。
• $\Sigma \setminus \{NP, SP\}$ は、パラメータ $u$ と $\theta$ を用いた水平曲線 $\gamma_\theta(u)$ でファイブレーションされ、$\psi(u)$ は $\psi'(p) = \cot^2 p - \cot p / p$ を満たす。
• $\gamma_\theta$ のヘイセンベルク長は無限大であり、$u \to \pm 2\pi$ のとき、$\gamma_\theta$ の $\{t=0\}$ 平面への射影は原点の周りに無限にねじれる。